Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

365

ou d2(x - O)2 - rX1 - Xo)2, d2(x - x)2 - r2(x - Xo)2,
ou d2x2 - 2d2xox + d2x2 - r(xl -- )2, d2x2 - 2d2xx +...
Le r6sultant se formulera
d4[d2(x2 - X2) - (r2 -- r2) (X1 - X)2]2 - 4d6(1 - - Xo)
[d2xo0x(xl - Xo) - (Xor2 - xro2) (x1 - Xo)2],
ou finalement
d4(X1 - Xo)4[d4 + (r2 - r_)2 - 2d2(r~ + rd)].
Exprimons qu'il est n6gatif, ce qui 6quivaut a poser
d4 + (r2 + r2)2 - 2d2(r -+ ro) < 4rr0,
ou [d2 - (r + r2)]2 < 4<rgr.
Ire hypothese: d2 > rs +ro, on aura d2 - (r2 + r)) < 2rro,
a savoir d r ~ + ro.
2e hypothese: d2 < r2 + r2, on aura d > r1 - ro.
Dans tous les cas exprimer l'enchevetrement revient done a
la double condition classique r, - ro < d < r1 -+ r%.
Note III. - Le r6sultant se simplifie notablement quand
l'un des trinomes f, f au moins est incomplet. Montrons qu'on
peut toujours se ramener a ce cas. Dans ce but nous aurons
recours a une propriete du rapport anharmonique.
Soient x', x" x", xIV les abscisses des projections de quatre
points donnes en ligne droite et enchevetr6s. Les rapports
S/lf __ x tXIV x
X" X' XIv- X
* — - XV 7-. seront de signes contraires (x' et x" 6tant
Xft XX f XIV z _ X/
associes ainsi que x"' et xV). I1 s'ensuit que le rapport anharXI// _ XI XIV _ XI
monique de ces projections -: ---- est negatif. La
X1 - X" XIV - Xff
reciproque est vraie. Cela pos6, supposons que l'equation de
la droite des points donn6s se mette sous la forme
X -- x y Yo
En designant par p la valeur commune de ces deux membres, le
point courant de la droite se symbolise par x = xo - cp,
y =-y +- p. Or, on sait que le rapport anharmonique se
conserve en projetant les points, par suite il est le meme pour
les points donn6s ou pour leurs projections. En outre, le calcul
montre que l'expression ecrite avec les abscisses conserve sa