Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

364

QUATRItME PARTIE

364 QUATREME ARTL
2>8a, condition entrainant la pric6dente et par surcroit
la r~alit6 du rayon du second cercie.
EXERCICE. - Choisir comme fieux de P les cercies de centres
F, F'.
Nons ferons suivre cettc m6thode, que nous proposons,
d'appeler m~thode d'encheve'trement )), de qnelqnes notes
destinkes ala mettre en relief.
Note I. -La m6thode en question s'adapte an cas d'nn
cercie et d'une droite. En effet, 6tudions le r6snltant de denx
trinomes,~ ax2 + bx c, f1 a1x2 + b~x ~c1, lorsque
al tend vers zero. ILe r6sultant tend vers
L'encheve'trement des racines rendant le r6snltant constarnment n~gatif, on aura, alIa limite, at(l )<Oexprimant que
la racine finie de f~s'intercale entre les racines de I.
Cela pos6, si l'on imagine deux cercies encheve'tres dont l'nn
tend aL devenir une droite s6cante a l'autre, le coefficient qu'il,
faudra placer devant x2- ~2 dans, son 6quation tendra vers
zero. Ii en sera de me'me pour le coefficient de X2 du trinome
relatif aux abscisses des points communs avec la ligne des
centres. De sorte que la condition dn r~snltant n6gatif exprimera d~sormais que la projection du centre du cercie v~rita~lde
sur la droite obtenue est aL l'int~rienr de ce cercle, antrement dit.
que la droite coupe effectivement le cercle.
Note 11. - Pr~sentons la m6thode dans toute sa g~n~ralit6
en raisonnant sur les formes
(x-0)2 + (y - y)2 -2r, (X-X1)2 +I (y -~~) y
La ligne des centres s'6crit
x x0 __y - YOx X xi y - Y
X,- X0 Yi -Yo X-1- X0 YivYO
Les abscisses des quatre points de rencontre seront f ournies
par l'ensemble
(xx)2[ + (Y1i'Y~O )-:
(x1)2L ~ (1 2~)