Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

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Ainsi aura-t-on
'ou BP- zj Vl2-2av/
Laissons ces v6rifications et demandons-nous s'il est possible
de se servir d'un proced6 uniforme quiand il s'agit de discuter
la r~afitU des points communs ~L deux cercies r~els donn~s. Nous
r~pondrons dans la digression suivante qni elo't notre quatri~me
partie..DIGRESSION
M~thode d'encheve'trement. -On sait que la discussion
de l'intersection de deux cercies revient a assurer l'existence d'un
triangle dont on connait les co't~s et se complique d~s que l'on
compare les longueurs de ces co'tfs. Deux voies sont ordinairement suivies:chercher -le plus grand rayon, exprimer que la
distance des centres se place entre la diff 6rence et la somme des
rayons, on bien chercher le plus grand cotU, exprimer qu'il
tombe au-dessous de la somme des deux autres.
Exemple. Mener par un point P une tangente A une
ellipse.
Les distances de P aux foyers F, F' seront d~sign~es par
d, d' et les 6l6ments de- grandeur de la courbe par 2a AA',
2.c FF'. On sait qu'il suffit de tronver F, sym~trique de F
par rapport aL la tangente inconnue, qui appartient, an cercle
directeur (F') et se trouve de plus sur (P), cercle de centre P
passant par F. On choisit d'ailleurs le cercele (F') de manikre
que l'on. ait d'. > d, sinon on s' adresserait A (F). Au lieu de
comprendre la distance des centres, d', entre la di1T~rence et la
somme des rayons on de rechercher le plus grand co't6 pour
suivre la deuxie'me voie, suivons-en une troishi~me que suggere
la nature particulie're de la question. Autrement dit, exprimons
que le rayon 2a de (F') joue le ro'le de distance des centres de
cercles auxiliaires ayant F', F, comme centres, d, d comme
rayons et venant se croiser en P. On 6crira d' - d < 2a < d' + d.
Or le triangle connun FF'P fournit d' - d < 2c, a fortiori
aura-t-on d' - d < 2a. Il reste l'unique condition 29a K d'+ d,