Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

360 QUATRIEME PARTIE
Le choix du couple 0, B est encore plus significatif. La
1
distance OP =- reste fondamentale, mais BP d6pend de B et
2
mieux de AP, qui a dipendu lui-meme du point secondaire D.
En effet, le triangle OAP fournit, grace au theoreme de la
12
mediane, - + AP2 - 2BP2 + a2
4
12 1 2
OU 2 + - (12 + 4a2 - 4a/-) 2BP2 +a2.
On en tire BP Z Vl2 - 2a ~
2
La r6alit6 de AP exigeait 12 > 8a2, celle de BP exige maintenant 12 > 2a/, oi 14- 4a12- 4a4 > 0;
ou [12 + 2a2(V2 - 1)][12 - 2a2(V2 + 1)] > 0,
vraie par suite de 12 > 8a2. Quant a la construction de OBP, le
grand cote etant manifestement, elle exige que l'on ait
2_
I a/2 1
2< ~2 +BP, oil (I —aV/)2 <2- 2aV
et finalement 2a/2 < 1.
On 6tudiera par analogie P".
Note commune. - Avec ces differents exemples de solutions
deriv6es, les procedes 61ementaires connus (emploi du th6or6me
de la m6diane, des relations de Pythagore, de Stewart) ont ete
mis a contribution.
Si l'on disire revenir au calcul analytique, on tiendra compte
a 2 l2
des relations primitives xy - (x + y), x2 y2 -.
2 L4
Ainsi aura-t-on
r2 = PF2 = (x - )2 + (y- f) = x2 + y2 - 2f(x + y) 2/2.
Or f vaut (1 + /2) et z y vat V. I1 viendra
2 2
r2 = [12 + 2a(I + V/2)(a \2- v) ],
4
a savoir le carr6 de, rsultat trouv+ plus
haut.