Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

CENTIEME SOLUTION 359
Ainsi avec le choix du couple 0, A la premiere distance reste
fondamentale, 6gale a 2 mais la deuxiimne AP se calculera grace
au triangle ADP. On aura
AP _ AD2 - -12 a2.-,
expression r6elle si l'on a 12 - 4a2 4a/, ou 12 > 8a2.
Quant a ]a discussion de l'intersection des cercles de centres
0, A et de rayons,? AP, nous la ferons en considerant la r6alite
du triangle OAP assur6e en imposant au grand cote d'etre
inf6rieur a la somme des deux autres. Ce grand c6t est -
2
car d'une part - > a!/2 signifie OP > OA et traduit 12 > 8a2,
2
condition supposee acquise, et d'autre part > AP revient a
I > /12- + 4a2- 4a\ qui se verifie sans peine. II reste a
assurer l'in6galit6
< a\/2 + AP, ou -- aC/2 < (2 + 4a2- 4a )
2 2 4
ou / < 1\/2 - a, et finalement 2a /2 < 1.
EXERCICES. - o1 Montrer que D est inferieur a 45, en d6duire
DP> AP.
20 Discuter P en comprenant la distance des centres des
cercles auxiliaires entre la difference et la somme de leurs
rayons.
La d6termination de P" se pr6sente d'une autre mani6re. On
trouve AP" \/12 + 4a2 - 4a/ toujours r6el. Le grand
2
cte 'du triangle a construire OAP" est cette fois AP" qui apparait imm6diatement sup6rieur a OA a /2 ainsi qu'a OP"
(d'ailleurs D) surpasse 45~). Il reste a assurer l'in6galite
IOU 7(12\4a2 2 4
AP" < /2 +, ou (2 4a2 +4a )< (aV2 +) '
ou a/ < a -q- lV/2, ce qui est vrai puisque deja on a
/ <a + l.