Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

CENTIEME SOLUTION35

35-7

2e hypothe'se I. Le discriminant reste positif.
Si I'on a 12 > 2a2(1 ~ V-2), on calculera
2,~~ r ~z- a\2
(r' demeure positif). L'existence du triangle se traduit par
i'in~galit6 a(2 -v V/2) < a(1 + VI) -i VF, vraie d'elle-me~me.
S1ona12 2a2I ~+ V-2), la racine nuile de f misc A part,
la racine positive a(I + V-2) conviendra.
Si l'on a 12 < 2a 2(I + V72), les racines en r sont positives.
La pins grande, analogue A la racine positive du cas oii' le produit 6tait n~gatif, convient encore. Mais la pins petite s'61imine
du fait que la condition d'existence du triangle
a(2~+VI) < a(1~+V-2)-V on Va212< a
ne se realise pas.
D'ailleurs cette racine tombe au-dessous de aV/2 et ne permet pius de calculer r'.
En r~sum6 P, P' existent si.l'on a 12 > 8a2 et PI", PI' sans,
aucuine condition.
EXERCICE. - Variante graphiqu~e. Choisir un point repr6 -sentatif de coordonn6es r, r' et l'obtenir graphiquement A
l'intersection d'une ellipse
et d'un ensemble de deux
droites. Discuter.
Variante. - Autre soluy X ~~~~~~tion d~riv~e.
F ~~~Ce nouvel exemple se disE ~~~~tingue du prkc~dent en ce
- - M ~~que les points secondaires
D, Di dependent A la fois
de a, 1. On les d~terrnine en
taut que points fixes dWintersection de la bissectrice Ox'
et des cercles circonscrits aux
Fig. 4 1. triangles OMN, variables
Fig. ~~ lorsque les bases MN pivotent autour de A en gardant une lonugeur constante. Posons

disignons par E, El les, points diamn6traux de D, DI situe's