Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

356 QUATRIAEME PARTIE
Apres le6vations au carr6, on trouvera
[( -/)2 - 2a2] (X2 - Y2) + 2(f - ')2XY-a2[(f - /)2- a2].
D'un autre cote, la forme rationnelle ci-dessus etant devenue
a2 -
XY -, l'identification donne /-f av/2,
4
On calcule des lors 2f = a(i + /2), 2f' = a(l - \2);
F'F = 2(f' -/)2 =2a, OF =a a1 + I,
OF' =a i- I
Cela etant, la relation de Stewart relative a l'alignement
F', O, F et au point ext6rieur P fournit dans tous les cas
12
r'2.OF - r2.OF' -- F'F = OF.OF'.F'F,
ou r2(2 - /2) + r'2(2 + \/) 12 + 2a2.
A l'aide de r' - r ea\/2, on en d6duit
f(r) 4= r2 + 4a(l1 + /2)r + 2a2(1 + 2) - 12 =0,
ou z + 1 correspond a P, P' et E = - P1 P, P'.
Ire hypoth6se: ~ = + 1. Le discriminant de / est 4(a2 + 12),
par suite positif. La somme des racines etant negative, il faut
que leur produit soit negatif pour qu'une d'elles devienne
positive.
On en d6duit 12 > 2a2(1 + V/2).
En outre, avec
-a(I + -2) 4- Va2 ~ 12
~r - -r2 r zr + aV2,
doit-on pouvoir construire le triangle PFF'. La base F'F 2a
est d6ja sup6rieure a la diff6rence r' -r a/2 des c6ts; il
reste a imposer la condition
2a r + r, ou 2a < 2r -I- a/2,
ou a(2 \/2) <- (l T 2) -+ -, ou.12 >8a,
condition unique entrainant 12 > 2a2(1 -i \/2).