Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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352 ~~~QUATRIkME PARTIE

formules r6sultantes ind~pendantes de 1, qui permettent de
passer du lieu initial de P1 au lieu d~sormais fondamental
de p, d~crits Fun et 1Fautre quand I varie.
Si on applique cette transformation au cercle X'2 + y'2 = 2,
on tombe stir la quartique X12Y12 = J2(X/2 + Y12 ), que l'on
doit consid6rer du me'me point de vue comme le second lien
fondamentall de p (sur lequel ce point se d~place quand a vanle).
1I. Mode de format/on des lieuix de p. Sous l'influence de la
transformation nouvelle, tout lieu representatif de P1 s'6change
x'_ y'I_ x12 ~- y12
en un lieu analogue de p. En eff et, - --- / par
/2 xt2 i2 cr2 /
'Suite X' M ' ais pour les
quatre points de Pappus P1,, on a Xr'2 + y'2 1 2 done on aura
/12 12 X'Y12 _ X12y/
X z-, Y% -. Or le syst~me x1 X'~' ~
~iquivut a 1 X/2+if r2,f X quvadr auss
/2 2 / 2
aX'z-T, Y' 1 formules de la -transformation g~n6ratrice
des lieux de p.
Pratiquement, il conviendra de choisir parmi les lieux de P1
ceux dont les corr6latifs ne posse'dent pas un degr6 trop 6lev6.
A cet 6gard, une des paraboles canoniques y'2 -= 2px' contenant
senlement un couple P, P, ou P~, P' produirait la cubique
X13 - 2p(X'2 i+ Y12) de forme simple.,
JIL. Dernier mode de formation des lieux de Pi. - N~gligeant
le retour inverse de p i P1. sous l'influence. de la transformation
compliqu6e apparue ci-dessus, on obtiendra un lieu de P1. A
partir d'un des nombreux lieux d6rive's de p A l'aide des for12 /2
mules simples X' -7 Y' Ainsi la parabole
(12- 8a2)Y'2 -2aj2 V2X' - 214
produit la cubique
2x 'y'2 ~2aV!y' 2 + (8a2 -12)X' - 0.
Ainsi une parabole canonique Y/2 -2PX, contenant deux
points p, reproduirait y'2 - 2px' passant par deux points. P_1.