Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

Q1TXTRE-VINGT-DIX-_NEUYIEME SOLUTION 34

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~sa forme )~' Yf2' + XI', en exprimant que le couple droit
fait partie du syste'me des s6cantes paralle'les aL Oy' communes
a la conique et a la premiere, cubi que.
La sirie des coniques circonscrites. an trapeze (p) se formulera;J2X'2 +(a J)2 +41'2 \/_2 XI + ), (XI2 +1a X 22) 0z.
En particulier 'lhyperbole 6quilate're r6pond aSe-8a,(12 - 8a2) (XI2 - Y/2) -i- 4aV\2 (12 - 4a2)X' + 16a212= 0.
EXERCICE. - Prendre 12 -8a2; que devient (2)'?
En particulier, le cercie r~pond a X - 8Se - 22; ii s'6rit
(12 - 8a2) (X12 ~~ y12) - 16a3V\2 X' - 412 (12 - 4a2) 0.
En particulier, la parabole, telle que?X 1 2, se formule
(12 - 8a2)Y'2 - 2ai2 V2 X' 214 0.
On se sonviendra. de l'opportunit6 de cette dernie~re 6quation
quand, il s'agira d'effectner le calcul de X', Y'. Ii viendra
a ~ ~ 1 ~'i~'2 /12 - 2a -i- 2as V
V\ sv'), V ~~~~~2 Se2
Laissons ces indications g6nirales et terminons par quelqnes
remarqnes.
De 1'examen des formes (1)', (2)' r6sulte,
The'oreme. w- Quand 1 varie, la droite iquidistante des s6cantes
(I)' reste fixe et la conique (2)' posseide deuix sommets fixes.
Sur le dessin les points-solution p se trouvent a 1'intersection
de 'la cubique obtenne par homoth6tie et de l'hyperbole (2)',
sons 1'hypoth'se 12 > 82.
Note. - Les lieux (1)', (2)' pr6sentent le maximum de
simplicit6. Leurs coefficients cependant d6pendent a la fois
de a, 1. Voudrait-on choisir des lieux dont les formes ne contiennent qu''un seul parame'tre, analogues a ce point de vue an
cercle et a l'hyperbole primitifs relatifs a P1, qu'il fandrait
accepter la quartique (1) et la cubique (2). La conrbe (I) est
la transform6e du cercle, mais il n'en est pas de me'me de (2)
A propos de l'hyperbole 6quiiate're (dans les formules X' -1
12
—, le parametre 1 figure et subsiste apre~s la transfor~mation).