Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

24

24 ~~~~PREMIE RE PARTIE

IVe Solution
Les axes de coordonn~es redeviennent Ox', Gy'. Nous y
rapporterons a, en outre de A, et les notations seront mn, In',
Cette fois, il parai't moims ais6A de passer de ~ A A. La transformation g6om6trique, qui 6tait prkc6demment une sym~trie
de directions relativement AL Ox et Qy, va devenir une homograplhie.
En. eff et, A~ titre pr~liminaire, ftablissons uine relation angulaire g~nkrale entre les angles orient~s d'une direction L et
de Ox et Ox'. On a l'galit6 connue
Ox, L + L,, Ox' =Ox, Ox' -— 2k7, - - k
On en tire tg Ox, L -4 tg L, Ox' -1 tg Ox,L. tg L, Ox',
CcU tg Ox, -t Ox',L =- I1 tg Ox, L. tg Ox', L,
relation homographique entre deux coefficients angulaires.
Si nous I'appliquons Ah la direction a, il vilent
t -t'I -I- +tt '.
Appliqu~e A la direction A, elle donne In - in' + inin'.
Cela ~tant, reprenons la relation (de forme homographique
6galement) t + in- 0. L'6limination de tI in entre ces trois
Agltsdonnera tCm' -I.
Pour interpreter ce resultat simple, changeons par exemple
le signe de in' et 6crivons t' (- in') - 1, ce qui montre que 8
et A', sym~trique de A par rapport AOA, sont rectangulaires.
De me'me 8' et A le sont.
Nous aurons l'occasion de nous servir de cette propriWt,,
aussi 6noncerons-nous le th6or~me suivant
Th~ore'me. Les droites de Pap pius et les synintriqttes par
rapport (-I OA (le leitrs associ~es sont perp'endicalaires.
On remarquera que les syme'triques en. ques~tion sont des
droites du groupe associ6 on pourra formuler 6ga~lement:les
huit droites des deux groupes sent sym~triques et rectangulaires
deux AL deux.
D~sormais.8 une fois d~termin~e, on obtiendra A par une
sym~t~rie relative A OA et, en menant de A la perpendiculaire
convenablement orient~e A la sym~trique obtenue. Du point
de vue des transformations fondamentales des figures g~onm6 -