Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUATRE-VINGT-DIX-NEUVIEME SOLUTION 37

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I ormn6 de P1 n'est plus R; appelons-le p. Ses lieux. f ondamentaux
provenant de X'2 + y'2 - 12, x2 - y'2 2 I/2'
12 12
parl1'interm6diaire de latransform-ation X' -,
se formuleront
()XI12YI2 -= l2(XI2 + Y/2), 2aV2 X'Y'2 -= 12(Y'2- X/2)
Si On 6lirnine Y/2 on produit un couple (droit) de s6cantes
(1)' ~X12 ~ 2aV2 XI 212 _0,
&1'quations respectives XI 2 a +e~/a 2)
La comparaison de ces abscisses et des valeurs famili~res,
a + V
cc' relatives aux s6cantes P Pt P'P conduit an
The'or~ie. - Les bases du trapeze pp'p" p1' sont respecti-vement deitx /ois -plus lloign~es de 0 quc les bases, en ordre alter~
de P PP"TP'.
Si on substitue dans le terme X'2Y' de la quartique l'expressinde X'Y'2 prise dans la cubique, on trouve une autre cubique
(2) X'(Y'2 - X12) -= 2a VI (XI2 + y12),
cindi~pendante de 1. Ces trois lieux curvilignes. 6taient dejA
-apparus, aux coefficients pre's, dans la XCVI1e solution. Mais
une nouvelle extension de la voie suivie va se produire si nous
transforinons la parabole 2y'2 -v6 2a 2 xc' -12 0.
En effet, sa transformi~e est u-ne autre cubique
X'y'2 - 2a \/2 Y/2 + 212X', ou Y' I V2 x
Avant' de la mettre a profit, montrons que' cette courbe n'est
autre que 1Fhomothe'tique, le centre d'hornoth6tie ayant pour,coordonn~es c', a aV2, y' = 0 et le rapport valant- 2, de
la cubique 6tudi6e a~ la LXXLVe solution. Un examen rapide
de 1~'~cart des 'asymptotes parallkies a Ox' et de la distance du
-sornmet A 1'asymptote paralldel a Oy', fait en partie double,
laisse pressentir ce r6sultat. La justification rigoureuse d~coule