Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUATRE-VINGT-DIX-NEUVIEME SOLUTION 34

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XClXe Solution
Me'thodologie. - La transformation aux inverses des coordonn6es X -,Y -,an lieu d'e'tre sngg6r~e par NW&ud
x 11.
de Q, aurait pu le'tre par celle de P1. quand on donne 'a son'lien
fondamental xy a(x + y) la forme - + - -,tout comme
x y a
la transformation quadratique X X2, Y y2, 6tait sugg~r~e
par X2 -+- y2 —:12. Nous en connaissons cependant l'inconv6nient
de non homog~neit6.: Rien n'emp~e'he de l'viter en adoptant
12 12
X -,Y -, ce qni revient an f ond h prendre l comme
unit6 de longueur.
Da-ns ces conditions, une voie r6gnlie're, entie'rement analogue
a la voie longnement snivie, s'offrirait h nos recherches portant
sur le transform~ R de P1. Les deux lienx fondamentaux de R
consisteraient en X2Y2 = l2(X2 I+ Y2), a(X+ Y) =12, ur
tique et droite, en tons points analogues aux lieux g6n6ralis~s
de Q. Mais alors l'inconv6nient signal6 (LXXXJVe solution) se
reproduirait:toute combinaison engendrerait un lien d~riv6
biquadratique, d~g~nr6 on non, di' a l'alignement des quatre
points repr~sentatifs. A ce point de vue serait-il pr6f~rable de
remiplacer x2 + y2 1l2 par l'ensemble xy a(a ~ c) on
1I -a +eVP
x y a12 ~des hyperboles asymptotes ak Ox et Oy, qui
s' adapte aussi. nettement qne - + - — A la transformation.
x y a
La quartique ratiounelle ci-dessus se verrait remplacer par la
quartique d~g~nr6e
aXY - 12(- a + Ps on a2X2Y2 + 2a212XY - 16 0,.couple hyperboliqne qni resulterait d'aillenrs du systeme