Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUATRE-VINGT-DIX-II-UITIEM-,NE SOLUTION 34

341

C'est le procd6& ge'neralisateur que nous, avons presque.tu urs emplo6 M, n'... x, y, x', y'... out d~sign6 des 616ments,
alg~briques, a peu pr~s constamiment. Mais a et 1, d'une maniere
sous-entendue, d6signaient des 616ments arithm6tiques, dWail*leurs c's 2et non 1 qui intervenait r6gulie'rement. Le choix du
signe, de a, abscisse et ordo-nn~e de A, r6sultait du choix des
sens postisdsaeO, Oy. uo se produirait-il si on changeait
le signe de a? Une sym4~trie. En eff et A serait sur la bissectrice
du troisi~me quadrant et tous les, points de la figure se verraient
remplac~s par leurs. sym~triques relatifs a l'origine. Certaines,
r6solvantes renfermant a2 et non a subsisteraient; les coordonn~es de Pj de formes x -at1(n), y af2(m) changeraiont de
signe. Cette consideration explique 'incidemment que les,
sym6triques des% points-solution P1 aient pu s'introduire au
titre de solutions 6trange'res a propos des lieux d6rive's. D'un
autre cOt6 le segment MN transform6 en vecteur ne conservait
pas un signe constant sur la droite de Pappus orient~e et on so
rappelle que 0 jouait le ro'le de point critique (M et N s'6channge aient) an moment oii cette droite tournant contin~iment,.,autour de A passait par 0. Ici encore l'opposition du signe de 1
provoquerait un. renversement de directions et reviendrait,
sans modifier les sens de Ox et Gy, A remplacer A par son
synmhtrique. Le double changement do signe de a et do 1 reviendr'ait ah transposer I-os points Los uns, dans los autres:appeler M',
N' los points appelos M, -N et vice versa (1)...
Mais c'est le second proc6d6 sur loquol nous voudrions -ici
insister. D6,sormais x, y d~signeront des longuours OM, ON,...
OM"' ON"'. Los points representatifs so trouveront tous dans,
lo premier quadrant:los points P1,, P' subsistent avec leur
ancienine signification do sommet do rectangke, deux nouveaux
points pi, pi s0 substituenit A P', P'.
The'orerme. - Les points en question. sont sur lo cercie fondanmental et les rayons Op', OP'j, ainsi quo Op'[, OP', forment angle
droit.
En off et, los pentes. do OPV, OPj' 6tant inverses et cello do
Op' 6tant lFoppose~e do la premiere, puisquo P', do coordonn6es
X, y, admet pour sym~trique par rapport A Oy justement p' do
coordonnkes -. x, y, le produit des pentes do Op', OP'' vaut
- 1. Du- resto, du point do vue g~omftrique,. P' et p' sont los

'(1) A la conclusion. nous touchons un mot de I devenant une imaginaire
pure.