Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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22 ~~~PREMIERE PARTIE

et on 6crira I - AM" -AN" 1~
sin a Cos':a
donnant lieu ~t la formo - sin a. cos oa sin cx - Cos cm.
a
Enfin OAM"', OAN"' indiquentAM' A
sin
AN"' GA
3,~~~ ~ I1 AN"'-AM"'., d'o~iu la premi~re forme.
4i ~sin
Note. -On a pu reconnaitre dans les forraules do miso enl
6qu'ation x-~ 1 cos 6, y ~ 1 sin 0, qui donnent les
projections do 0P1, homoth~tiquo de OP, los coordonmies
polaires 0 = Ox,,~ P du. point auxiliaire P1,. Nous
verrons plus loin quo co point, ainsi quo P, d6crivent des
hyperboles homoth~tiques 6quilatdres, tangontos en 0,~O'
do tolle sorte quo dans la variation do 0, do - -, - T, la
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valur ~produit le changement do signe dui rayovetu
OPI ou do OP. Le quadrant (2) so s~parera ainsi do ('I).ot do (4).
Voudrait-on g6n6raliser, et utilisor x =1 cos 0, y 1 sin 0
dans tous los cas, qu'oni serait forc6, d'orionter 8 do 0 vers P..et P1, uniform~ment. Le rayon vecteur resterait constamment
positif. A cot, avantage s'opposorait un gros inconv6nient.
En effot, quand, 1 variant, P, consid~r6 comme point courant,
passerait do la r~gion (4) ~ la r6gion oppos6e (2) on franchissant
l'origino, c'est-A-dire d'une position P"' a une position P",
le nouvel angle polaire 0 sauterait brusquornent doe
- Le point 0 deviendrait une espkce do point critique.
1i s'en trouverait un. autro, sur l'hyperbole d6crite par P, ~h
savoir le point A 1l'infini on direction do Ox:quand P passerait
do la position P", a, linfini do gaucho, a la position P', a 1'infini
do droite, la valour do 0 tomberait brusquement do a 7zor o.
L'6quation du probl~me on sin 2 0 serait obtonue, malgr6
tout, A lFaide d'une 6l6vation au carr6. La distribution des
solutions a so rdalisorait diff~remment quo ci-dessus.