Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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I
TROISIEME -PARTIE

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avant tout la quantit6 s2- 4, que 1'on prendra positive pour
que la transformation soit r6elle, puis examiner 1'in~galit6
2s-v- eVs - 4 > ou < 0. Par exemple, adoptons P', tel que
1'on ait X K< 0, y > 0. Comme il en r6suite x < y, on choisira
1. Ii faudra enlsuite assurer le's deux conditions
-0V2- 4 < 2 -s < Vs2- 4, sachant d'autre part que
les racines en s sont de signes contraires, la positive surpassant 2 puisque leur somme vant 2. Supposons s~> 2 et par
suite S2 - 4 > 0:la deuxi~me condition se satisfait d'ellememe, la premiere 6,quivaut a 2-4>(2 )2on s > 2, ce,
qni est vrai. Supposons s < 0: d'abord~2- 4 exige s <4 - 2,
a - 2, ou 12 > 8a2; puis la deuxiOme condition
a
revient a (2 - S)2 < 52 4,asavoir.2 < s, et ne pent avowr
lieu. Senle subsiste 1'hypothe'se s > 2 et on choisira z' +1
Variante. - D~signons par in une inconnue auxiliaire reli~ex
a xi, y' par les formules
X' 2a~ __ y' 2a \/2 __
x' =2aV2 m _
Sous leur influence, le systtme
x'2 1y2 -12 x'2 - 1y2 2a x'
se r6duit a (r2 - 8) MI2 - 2(r2 -+ 4)M" r2 - 0.
EXERCICE. Obtenir x', y' pour P'. Rapprocher 1'6quation
en in" de JI(M'2) =0 formuhke a la XC~e solutiou.
Variante. - Une autre transformation irrationnelle
permettra de r6duire a une seule r6solvante le syste'me en x, y.
2am' 2am''
Nons l'avons d6duite, soit de x m' -vt 71y
soit de x - = (2 s +S-v ~2 -4), Y-(- V2 )
a l'aide des relations " -l n'2, s wi-v-,
Note critique. - Voici an demeurant comment penvent
s obtenir tontes les transformations propos6es ()
(1) Le lecteur aura sans doute Wt frapp6 de le ur caract~re apriorique.