Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

318 TROISIEME PARTIE
XCe Solution.Methodologie. - Avant d'abandonner d6finitivement le
point P1, il nous reste a proposer quelques solutions oiu l'idee
de transformation aura acquis un caractere plus systematique.
On a vu qu'entre les angles de A ou A, avec Ox et Ox'
existait soit la relation cc - a' + 2k-n (si la droite est
orientee de gauche a droite dans le meme sens par rapport a
Oy ou Oy' pour les positions A', A". A") soit
a -- = -+ 7- + 2k7n
4
(le sens d'orientation relatif a Ox s'opposant au sens relatif
a Ox' pour A). Dans tous les cas on saura ecrire
tg ( - a') = tg
im — i ml
o'est-a-dire -- 1.
1 + mam'
II en r6sulte que l'on sait passer de l'6quation r6ciproque
biquadratique en m a l'quation bicarr6e en m' a l'aide de la
I +- m'
transformation homographique in -- ' et ~vice vetsa de la
1 rn
bicarree a ]a reciproque par le moyen de m' -
Cela rappele, si on veut bien se reporter aux 6quations
initiales du quatrieme degr6 de la VIIIe et de la LXXXIXe solution, on constatera que deux proc6ds de transformation, en
apparence ind6pendants, ont aboutf a des r6solvantes respectives reciproque et bicarr6e. Afin de pr6venir toute confusion,
gardons la lettre x dans l'une et changeons x en y, dans l'autre,
apres avoir remarqu6 que les coordonnees x, y de P1 jouent le
meme role dans la question, ainsi que celles x1, yi de Q. Des lors,.
nous avons en presence
f(x) = x4 - 2ax3 + (2a2 - 12)x2 + 2a2x - a212 = 0
etl c(yl) y - 21y + (12 - 2a2)y i- 2a21y1 - a212 0.
Mais xy= al, par consequent on transformera f(x) dans
9(Yi) a l'aide de la formule homographique x = -, et vice versa
n passera de par le moyen de
al
on passera de y a / par le moyen de yi -=x