Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUATRE-VINGT-NEUVIEME SOLUTIO~N31

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EXERCICES. 10t Examiner M"N"' et montrer que la racine
gcarr6e n6gative rej et6e conduit indifft6remment A - x relatif,A M"IN"' on A - y relatif aL M"'N".
20 Unif orruiser la discussion en acceptant des signes pour x, y.
Note. -Sur la figure du d~but Oil se~ lit le- point P, Milieu,de MN, on voit que l'on a.
I1 AM~AN _AM-AN
222
Pour M'N' on aurait z AP'. De mme cocrat AP"nli
AM1 - AN" AM"// AN// R'
zAM" - 2 2 A
Mlais, concernant AP"', on aurait
- A' -AN"' - AM"'/
z ~ ~ ~~2 A
PDans tous les cas l'inconnue auxiliaire z repr~sente en valeur
absolue la distance AP et, ISi on pr~fre, la moiti6 de A1Pj. Or
A la VI~esolution se trouvent justement les carr~s r' des
distaces APl, on en contr'lera les valeurs.
Note. - URn th6oreime classique. enonce la proportionnalit6,des segments d6termin6s sur la base d'un triangle par la
bissectrice, int6rieure on ext~irieure, du somnmet oppos6 avec.
les clt&s adjacents. On a su 6crirel -, - d 'ofi l'on tire
ZYit yx,. La valeur commune al de ces produits nous est
fournie par ce qui pr6cide, mais sous-entend que le triangle
aV/2.l OA.MIN,est rectangle. Remarquons que ]'on a atl
Par suite, il vient OM.AN ON.AM OAM
V2
pour la bissectrice int6rienre et
Om1. AN"1 - ON".AM" OAMN
-pour la bissectrice ext6rieure. EnRoncons:
The'orenme. -- Dans an triangle rectangle, le produit de chaque
-cathe~te par le segment altern6 que d~termine sur l'Ihypotinuse la
bissectrice vaut' le produit de l'hypot~nuse par le cotM du carre' dont
la bissectrice est diagonale.