Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

TROISIETME SOLUTION 1

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On ret~ombe, ce qui est nature], Sur la transform~e en, - m
de (El) que nous, avons youlu 6viter '(1).
Par contre, si l'on remplace, 2 sin 0 cos 0 par sin 2 0 et
sin2 0 H.COS20 par l'unit6, on trouve d~finitivement
E)' 12
(E3 -~0sin220 -sin 20 1 0O.
Passons a la discussion de cette r~solvante.
Les racines en sin 2 0 sont r'6elles et de signes contraires.
La racine n6gative, sin 2 0 =2 - ~/ - convient en
taut pie sinus, car on a 12(1-~ > -1
12 12 12 12 14
ou 1 < 1.+- on i-H —K +- -i
inegafit6 6videmment v6rifi6e d'elle-me'me.
La racine positive ne convient que si l'on a
12( ~~I +2)
Au lieu d'examiner cette condition A la mani~re habituelle,
comparons plut'tl A1 l a racine positive implicitement renferm6e
dans (E)', selon le mode (habituel 6galement) de substitution.
Si ftsin 2 0) d~signe, le premier membre de la r6solvante,, on
Iomen 12 (12- - 2>. Comme I doit e~tre ext~rieur
fre4a2 (Is) 4a2 \4a2 /
12
a l'intervalle des deux racines, on doit avoir -(1) 0
4a2 M 0
c' est-a~-dire 12 > 8a2
Le cas particulier lirnite 12= SO correspond A sin 2 0 1z
et produit d'abord la valeur double 0 7(a et 8' confondues
avec OA).
La deuxi~me racine prend la valour num~rique simple 2
et losdroitesV a's!1sinclinent str 0.de __
7 ~ ~~~1-2.' 12'

(1) Les math~matioiens ne sont pas sans connaftre ces retours en arri~re
sortes de cerole vieieux d'un caract~re sp6cial - dans le d6veloppement
d'un calcul plus ou moins complexe. C'est ce que nous appellerons une ((persistance ),ici, la persistance d'une 6quation.