Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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TROISIEME PARTIE

et on verra que pour M'"N', il vient \/12 -x2 =
Resolvons essentiellement.
(1) Xl2_ 2_ C2 (IX
X - a
Puisque, M 6tant a droite de A,, on a x > a et que la r6alite
du radical exige qu'on ait I > x, on en conclut 1 > a. Cette
condition n6cessaire n'apparait pas comine devant etre suffisante. Quoi qu'il arrive, faisons la double restriction a < x < 1.
Nous avons le droit d'6lever les membres de (1.) au carr sans
introduire de solutions 6trangeres. D'oii l'equation equivalente
'(1)\ 12 2_2 ~a2x2
1) -- x2
(x -a)2'
Adoptons l'inconnue auxiliaire X — x - a, on obtient la
nouvelle 6quation
(2) X4 + 2aX3 - (2a2 - 12)X2 - 23X - a4 0.
Adoptons enfin l'inconnue X1 telle que X -aX, il vient
(3) X + 2X3+ -(2 - 2X t- 1 - 0,
resolvante dans laquelle X1 doit etre reel et positif.
12
(4) 2 - 2z - =0
avec z r6el et positif.
Acceptons seulement et provisoirement la valeur
\/ta 2 -i- 2 -
racine r6elle et positive de (4) et r6solvons Nl'quation correspondante
(5) X - zX1 +1=0.
I.e discriminant z2 - 4 impose la condition
a -— 2 - a/2
z > 2 ou > 2
a savoir I > 2a\/2. Desormais X. et X deviennent positifs
et x devient superieur a a. II reste a iontrer que I > 2a\/2,
entrainant / > a, suffit assurer que x devient inferieur a 1.