Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUATRE-VINiGTIEME SOLUTION28

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tique X?x~ X -+ — mais, r6duite a la f orme X -X
d'application courante pour risoudre une 6quation bicarr6e'et
que nous avons misc A profit aL la fin de la LXXIJIe solution
dans un autre but.__ __
Recherchons, les inconnues, x GM, y =ON a l'aide do
leurs, carr6s. X2 2, que nous representons, par X, Y.
En outre de la relation x1 _+ y2 [ 2 qui,. au fond,_suoggre
la pr~sente m&thode, considdrons xy a(a -v E;a2 [~ 2),a
savoir le couple d'hyperboles canoniques passaut chacune par
uu1 couple de points P. Elevons au carr6 cette deuxi~me 6galite,
ce qui adjoint l'ensemble des hyperboles sym6triques par
rapport a Ox; il vient X2y2I::- a2(a + Sv')2, de sorte que les
iuconnues provisoires satisferont au systime
X -I-Y 1z2 XY -a2(a +SVF)2,et seront racines de la double r~solvante
Z2 - 12Z ~+ a2 (a + j2 -0.
Le discriminant sera positif ou nul si l'on a
ou [2 > 2a(a + z/) pour c ~I,1
ou [2 > - 2a(a -+ eV/ pours - 1.
Cette dernikie condition, revenaut a (a - v)2 > 0, Se
rialise d'elle-me'me la pric6dente deja~ rencontr~e revient,
a 1 > 2aY2. D~sormais les, racines, r6elles apparaissent positi-Ves. Leur discrimination se fait ais~ment au moyen du signe
de eet en se r6f6rant a la position de P,_ relativement A Ox, Oy.
Par exemple, les coordonmies de P' se formuleront
~2 14 - 4a12 -8a4 ~8aSO
y~VY~~~~~2
Note. -Cette nouveile f orme des coordonn6es du pointsolution P,, c'est-a-diresd~es m'esures de GM, ON, conduit a. do
nouvelles 6galit~s dont le caracte're d'irrationnalit se, complique du fait do la pr~sence d'un radical triple. Ainsi, en.
MAlROGE.R. - Probl. de Pappus. 1