Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

le, Lt co 2

282 ~~~TROISIEME PARTIE

1.4s diff hrences entre les deux abscisses et les deux ordonn6es
solft, d'une part, [4~~+-L /\/
et, Jl'autre part, ce rapport rnultipli6 par a.
90r tg + -tgQ )vaut, apr&s reductionscs2
Exprimons MVN 2;il vient
a2(l + at2) (Sinl lp CO co )2
- i2 cos2 2(p ~tg c + It - ] tg~c y )a]2
r6soivante du quatrie'me degr6.
IL existe donc quatre segments M\N, r6els on imaginaires.
Sirnplifions la r6solvante, on aura, en posant -:r
a
8(1 + a2) (sin up acos 0)2 = p2 cos2 2cp. (a2- at c 1)2.
Remarquons essentiellement qu'elle ne d6pend pas de x0,
yo;par suite, sans rien particulariser, on pouvait prendre 0
comme origine. Elle d6pend uniquement de cp et de r; par
suite, on pent r6aliser une homoth~tie de Centre 0 et de, rapport
quelco'nque sans changer la direction de MN.
Deux cas remarquables de resolntion se pr6sentent
10, 1P 0, antrement dit Ox' choisi comme axe des abscisses
ii vient 8(1 + aU2) a2 r2(U2 - 1)2,
6quation bicarree qui n'est autre que Celle de la H~e solution.
20 TC-~ c'est-a-dire Ox choisi pour axe coordonn6; il vient
-4(1 + 2) (1-U)2 - r2(U2 cs 2p-2(ip2~-cs2)2 = 4r2U2,
6quation r6ciproqne de la lire solution.
Note. - Nons ne savons pas rdsondre directement la r~so1 -vah-te sous la forme trouv6e, mais senlement par transf ormation.
ml +~-tg p
A cet effet, posons ai-t nous tronverons, apre's de
1 'g
notabls reductions,
8(1 + Mn'2)Mn'2 -— r2(M'2 - 1)2,
A savoir l'6qnation bicarre'e dejak signalke.