Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

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EIXERCICE. - Discuter les racines; comparer ce proc6d6 a
celui de la Ire solution.
VII. Parabole -et hyperbole ~quilate're orthogonales. - Dans la
LXVe solution l'association de pareilles coniques a provoque
des re'sultats simples, entre autres l'apparition d'une certaine
parabole contenant les deux points ofi elles se coupent normalemen't. Compl6tons ici leurs proprift6s.
Soient y2 z2px, (x -oc y2 (X0-OC)2 - y2 les
courbes rapport~es A l'axe et A la tangente an sommet de la
parabole, (x0, yo) _d6signant un de leurs points communs M,
a~ 6tant l'abscisse du centre de l'hyperbole. Les pentes, respectives des tangentes en M sont donn6es par y '
x - -c yY', 0, quand on remplace x, y par x0, yo. Ecrivons
que Y'.Y' vaut -I;on aura y2-p~a - x), relation v~rifi~e.
p ar M et montrant une p arab ole de p arame'tre!~dont le sommet
2
coincide avec le centre de l'hyperbole (cc r6sultat a Wt obtenu).
De plus y2 - p(oc - x0), combin~e avec 2y- 2pxo, donne
3x0, r6sultat -nouveau remarquable.
EXERCICE. - Dessiner la figure pour x0 avec les quatre
points communs.
VIII. Paraboles orthogonales. - Pareillement, nous g6n6rafiserons les r~sultats de la LXVI Je solution relativement A deux
paraboles orthogonales en M(x0, yo), d'6quations y2 2px,
Les p entes en M r~pondent aux relations yy,', p, yYY + 77 0.
On en tire y2 p~r 2pxo, d'ofi 7c 2x0. Si O, PTN
d6signent l'origine, la projection de M sur Ox, les extr~mite's
sur Ox de la tangente et de la normale A la premiere parabole,
la figure permet de. formuler MP2 PN.PT, ois "MP O
PN z= p, PT z 7, ainsi que PT z2OP, ofi OP — 7-x0.(en
utifisant les thior~mes classiques).
EXERCICE. -Peut-on se servir du couple parabolique pour
d6montrer ces th6ori~mes?
IX. Noinbre de points communs a' deux courbes. - La t~hiorie
6li6mentaire du resultant de deux trinomes du second degr6
rend compte du nombre de points communs A deux co niques
f1, f2. Si on e'limine y par exemple, on obtient une equation dlu
quatrie'me degr6 en x et A chaque racine x correspond une