Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

TROISIEME SOLUTION 17
tiori de A s'6rira - -1- - 1, ~,~d~signant provisoirement
x y
les coordon~n6es courantes. Exprimons que la droite contient
le point A., ii viendra
a a- on mieux xyz a(x +zy).
x y
Or GM, ON sont los doubles des projections du vecteur
OP - ~ portd par l'axe 8, exception faite pour aft auquel
cas on a OP" 2- On pourrait doubler OP (par ho'moth6tie)
et dire encore que ces vecteurs sont les projections du vecteur
obtenu O1i.
Qunoi qu'il en soit, le th6or~me de la projection d'un. vecteur
portd par un. ax-e orient6 nous donne, dans trois cas de fgure,
-e c os 0, y-1 sin 0, et dans le quadrant (2), x I cos 0,
-1 sinG-.
11 en r~sulte la double 6quation trigonom~triquie dui problkine
(E.) -+-sin 0 cos 0 sin 0 + cos 0.
La discrimination des deux formes se ~fera ainsi:le signecorrespond a la douible. inglt <- 0 < 0 relativement
4
a M"N" le signe +~ r~pond A 0 > relativemont d MN
7,~~~~~~
fl 0 < 0 <1 relativement A M'N' a 0 < - relativement
A M"..N"' (la rotation cornpl~te de 8 s'6tendant do' - +
*Sur la figure. MN et 1\1N' out des lonugeurs diff 6rentes, ce qui
~inppose la variation de 1 et de 0.
Quant a pr~voir la nature do (E3), on le pent dans une faible
mesure. En effet, 8 et 8' sont sym~triques par rapport a GA.
et los angles 0 compl~mentaircs. Par suite sin 0 cos 0 et
sin 0 + o0rstn inariants quand on 6change ces deux
droites-solution entre elles. Rien. n'empe'che qu'ils nWinterviennent aL la fois dans l'6quation. cherch~e. Mais a" et a',
en tant quo droites orient6es, sont sym&,triques par rapport
A la bissectrice du quatri~me quadrant, et la somme do leurs
MNAROGER. - Prcbl. de Pappus. 2