Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

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a savoir xy- - a,(x -, y), hyperbole fondamentale et sa
sym.6trique, on bien
xy(x -+- y)2 - llxy' 2axy(x + y)
-xy[(X -d- y)2 - 2a(x -!H y) - 12] - 0,
couple droit et ensemble des axes de co~ordonn6es,
on bien Xy(X +~ y)2 - l2Xy -2x2 Y2 xy(X2 -+ y2 1 2) -0,
cercie fondamental et ensemble des axes,
on encore X//(X +y2-Xy(X2 +y2) - 2axy(x -v y)
2xy[xy - a(x -i-H) 0,
hyperbole fondamentale et ensemble des axes.
Nous retrouvons de la sorte des lieux connus, en outre de
fieux 6trangers, et an fond nous sommes revenus an m6canisme,
de la m6thode de combinaison des lieux reprisentatifs. Quant
ala substitution totale, elle prodnri
Xy(X + y)2 - Xy(X2 + yl) -Xy2 0,
a savoir 0 0, et ne pourrait avoir d'antre but qu'nne v6rification.
EXERCICE. - Retronver la parabole connue en partant de
la quartique de deuxiinie es~pee
Xy(X -y)2 -l2Xy ~'2a 2(X -~y)2:z 0.
IV. Autrc mode. - Dans cet ordre d'id6es nous arn
d'antant plus de chances de cr6er des lieux jusqn'ici mnconnus
que 1 2et a figureront un plus grand nombre de f ois dans la
relation ch oisie. Ainsi, Si nons partons du couple droit a forme
rationnelle 2X12 -2 2aV2x' -1 0, l'nne ou l'autre des deux
substitutions possibles prodnira. soit-le cercie, soit l'hyperbole
primitifs. Au contraire, la forum irrationnelle en a, 1, a sa-voir
a 1 Xa 2sera antrement f~conde. Nons en tirerons
V2
par exemple, V~2 x' \/a 2 +12,
2 V2x'
on 3~~~X12 + 12 2\2(2 + 12)x',7
quartique d~compos6e en deux ellipses sym~triques, tangentes
a Oy' alTorigine. Nous en tirerons encore
(\V2x - a )2 = aX 1/ ~/2
2 \/2x'