Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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DEUXIEME PARTIE

3~ Soit a4 - 14- a4 +- 14. On d6duit alternativement
a3 Xy + 12(x2 + y2) a4 + 14
X +y
a4 + 12(x2 + y2) a3 +- 14,
x -Vy
a3 xy
X -H- Y
a3 —. -- (x2 4- y2)2 = a4 - 12(x2 +- y2),..
x -- y
EXERCICES. - 1o Affecter l'identite generatrice des lieux
geomnetriques de coefficients num6riques (ou litt6raux); par
exemple a2 4- 212 = a2 -v 212, a4 - 314 _ a4- 314,... et
operer quelques substitutions.
xy
20 Que procurerait la substitution totale de x2 -+ q 2, +2
a 12, a dans F(2, a) 0?
La pr6sente m6thode peut s'appliquer point par point avec
X'2 __ y12
les coordonn6es x', y' sur les combinaisons x'2 +- y'2, --
Nous ferons remarquer qu'on doit en limiter l'application
pratique a des identit6s homog6nes en I et a. Ainsi
12 -a-a 2 4-a
produisant le lieu de P1, xO2 - y2 1 - 2 + a,
X.+ y,non susceptible de traduire une v6ritable propriete intrinseque
de la figure de Pappus, ind6pendante du choix de l'unite de
longueur, sera ecartee a premiere vue.
III. Autre mode de formatiozn. -- Partons non plus d'une
identit6 en 12 et a, mais d'une relation entre x, y,, traduisant.deja un lieu de P1. Prenons, par exemple, la relation qui resulatait du th6or6me de la bissectrice
xy(x + y)2 - 12xy - 2a2(x + y)2 = 0.
Par les memes substitutions partielles que ci-dessus on en tire
Xy(X + y)2 - xy(x2 + y2) 2a2( - y)2
= 22y2 -_ 2a2( + y)2 = 0,