Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION27
nelles relativernent compliqud'es de a et 1, f ournissent deux
combinaisons fort simples x2 + y2 et'X. E'n effet, une fois,
les calculs effectue's, ces expressions se r6duisent a 12 et a.
Autrement dit, quels que soient a et 1, leurs fonctions x et y
xy a
v6rifient identiquement les relations x2 -1 y2 =12, a
x
11 s'ensuit que si dans une identit6 donn~e F(12, a) 0, on
substitue partiellement aux lettres l2, a les expressions X2 + y2,
X +, on obtiendra une 6quation f(X, y, 12, a) ==0, ve'rifi6e
pour les coordonn~es de P1 et, par cons~quent, repr6sentant un
lieu ge'om6trique de ce point. L'application de ce procWd, pent
en th6orie se poursuivre in'd6finiment; en pratique, on s'astreindra a cr~er des courbes utilisables. Exemples
10 Soit F = al2 - al2 =0. On en tire
a(X2 + y2)-l12 X z0,
x -1- y
forme fractionnaire de la strophoide 6tudike plus haut.
20 Soit a2 + 12 =_ a2 + 12. On en d6duit de diverses manires
a + x2 ~y2 ==a2 + 12, cubique circulaire admettant les
memes points F linfini que la strophoide, mais d'6tude moims
accessible; ou bien a2 ~ X2 + y2 a XY - 12, courbe aiax2y2
logue a la pr6c~dente; ou bien )2 X ~ y2 =a2 + 12,
quartique a directions asymptotiques imaginaires ayant un,
point double en 0;
2 + X + __ xy2 12
ou bien a2 -vx -y-y22 +12
quartique analogue A la pr~c~dente;
ou encore XY + x2 +y2 -=a 7i-+ 2
(x~~~y)2 ~X2 y
ou enfin a Xii ~x2 + y2 - Y 12
x +y (x +Y) 2