Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

274

I
DEUXIEME PARTIE

cubique, donnant ainsi en apparence une infinite' de pointssolution.
EXERCICE. - Pr6voir que la droite en question s'incorpore
dans la cubique en tenant compte des points comm'uns a
I'infini entre la courbe et le syste'me rectiligne.
Note. - Rappelons que pour l 2aV2 le quadrilate're de
Pappus (P1) devient un triangle 6qnilat6ral inscrit dans le
cercie initial; supposons dessinke la figure actuelle et e'nongons:
The'oreme. - L'hyperbole 6qailate're admettant pour somynets
les sommets de base d' an triangle 6qailat~ral rencontre en outre le
cerele circonscrit aux extr~mit~s dii diamn'tre parallele a" cette
base ()
DIGRESSION
Parachevons la deuxi~me partie de notre 6tude ois le ro~le
essentiel a Wt jou6 par P1, quatrie'me sommet du rectangle
OMPjN, on si on vent homoth6tique du milieu P dn segment
de Pappus MAN, par les notes suivantes.
I. Sur le nombre des solutions. -Au fur et A mesure que
croissait le nombre n des lieux g~om6triqnes de PI, celni des
combinaisons de ces lieux deux ak deux, 2~ - augmentait
consid~rablement et force a Wt de nous en tenir aux plus
saillantes. Nous avons pu riiunir en une seule un faiscean plus
on momns compact de solutions similaires, grace a l'emploi
fr~qnent des variantes. L'6tude en partie double du d6but out
une meme figure s' envisageait analytiquement tanto't par
rapport aux axes Ox, Oy, tanto't relativement A Ox', Oy', a Wt
d6laiss6e aL un certain~moment. Nous n'avons du reste jusqu'ici
jamais recourn a un syste'me ge6nral de coordonn6es ind6pendant de l'angle droit et dn point donn6s.
II. Mode de, formation syst~matique des lieux de PI. - En
dehors des moyens mis en omuvre, dont ha m~thode de combinaison des lieux repr6sentatifs est le plus constant, nous en
proposerons un nouveau, fond6 sur ha notion d'identite'. Les
co-ordonn6es x et y de P1, tout en e'tant des fonctions irration(') Cas particulier du th6or~me de Fr6gier.