Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

SOIXANTE-QUATORZIEME SOLUTION ~

") -7 'I
1.j I,

Variante. - La quartique et 1'hyperbole initiale accoupkes
branche a branche produisent r6ellement P' et P'j sans con12
dition, P1 et P puv qu'on ait 2a- > 2a /2, 011 12 >8 2,
et introduisent quatre points 6trangers imaginaires re'pon'dant
a~ la relation 2XI2- 2aV~x' +-~ 12 =0, comme on justifiera
f acilement.
Note. - Si l'on pose X12 = XI' y'2 - Y', il vient
4X'Y' 1 - 8a2X',
6quation d'une hyperbole i6quilate're admettant les asymptotes.
XI 0 et Y' - - 2a2. Apre's avoir construit l'arc de cette
conique situ dans le premier quadrant, on en d6duira l'arc,
du me'me quadrant de la quartique en extrayant les racines
carr~es VX', VY' qui serviront de nouvelles coordonnees.
L'asymptote Oy' se conserve, mais l'arc de quartique arrive
normalement sur Ox' tandis que Farc hyperbolique formait
angle aigu. Si l'on tient a conserver l'homog~n~it6 de la relation,
on posera de pref~rence X'2 - aX', y'2 - aY', it figurant
l'unitU de longueur, mais dans cette hypothe'se x', y' deviennont,
les moyennes g~om~triques entre u et X', Y'.
LXX IVe Solution
Mkthode. - Nous nous adresserons A l'une des cubique~4 dod-composition des quartiques d6g6n6r6es que le m~canisme do
formation pr~c~dent a mises en 6vidence, cubique poss~dant
po ur sommet le point A,.
Rappelons qu'on avait 6crit
12- 2a~2x' -y'2, 12- 2xI2 -2a~2x'
et, par voie de multiplication,
12 (x 2 -2 2aV2x') y'2(2x'2 - 2a ~2x').
Supprimons le facteur x' et symbolisons la cubique on
question sons deux formes
2y2- 2a/2 y'2 - 12X' + a \2l12 - 0
I +2V