Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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268 ~~~DEUXIEME PARTIE

Quant 'a la propriWt d~coulant de 4~ 11011
dx'
1'6nonberons
The'ore'me. - La tan gente en chacun des deutx points dWriflexion
est rectangulaire avec le rayon pecteur de l'autre point.
La d~termination *de P1 r6sultera de l'association de la
quartique et du cercie fondamental, par exemple. Mettons de
coti les points cycliques communs, constatons la r6alitU des
points de rencontre P", P's avec la branche de gauche et assurons celle de PI, P' sur la branche de droite par l'in~galit6
\/ 2al%2V2 ' 1 ', ou 1 > 2 a ~2.
Passoiis an calcul des coordonn6es. Par substitution de 12a
x'12 + y12; la courbe devient x'2, -y'2 -- 2aV2x', et on, re-tormbe
sur des operations connues.
Variante.-Associons la courbe et le couple droit. Ngiigeons
la droite de gauche, s~cante en deux points re'els P,; Pi et
d'eux imaginaires, et discutons l'existence des points de section
3/ -
sur celle de droite. Nous devons avoir \/2al2V2 <
V2
on Sal2 a3 + 32V +3a2 + 12) + (2 + 12)V
on a(512 - 4a 2) < (1 2+ 4a2) V
Ire hypothis:1 5 La condition se ri~alise d'eli, m'me
4a 2
2e hpothse:2 > —.En 61evant an carr6, il vieat
(12 - 8a 2)2 > 0,
condition touj ours r6alis~e 6galement.
Note critique. - Quel que soit 1, deux points d'intersection
r6els et deux imaginaires apparaissent sur la branche de droite
uls repr6sen'tent des points strangers et les points-solution P1, PD
ceuxiit r6els on alors imaginaires quand 12 < 8a2 0ou alors
12 > SaO et ceux-ci imaginaires on alors reels dans les me'mes,
conditions. Es prennent en quelque sorte la place les 1uns des
autres lorsque 1, variant de z6ro at linfini, franchit; la valeur8a. Mais du point de vue geome'trique on ne sait pas a priori'
en faire la distinction.