Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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DEUXIEME PARTIE

generatrices renferment davantage de termes du second degre
que du premier (six contre trois).
Reprenons les notations ci-dessus et formons, par exemple,
1 - '2 + y'2 /2 12; CD1 = X2 - y 2 2a22 x,
d'oiu /f1 = f2/p2, c'est-a-dire x4 - y'4 2al2 2 x.
Formons encore
f1 -2 + y2, f2 -12; 9l 2x2 2 -2 + 2a/2x',
d'o6f 2x'2(X'2 + y2) = 2al2 V2X --- /4.
Obtenons successivement
(2x'2 - 12) (x12 - y'2) = 2al2/2x,
2x'2(12 - 2y'2) 8a2x'2 - 2a2V/2x',
quartique se d6composant en x' = 0 et en une cubique,
2y'2(x'2 y- 2) - 8a2x2 + 2al 2 2x',
X'2(x2 - y'2) 2a /2 x'y'2 2al /2 x':se d6composant 6galement,
y2(X2 _ y'2) _ _ 2a /2 x3 + 2al2 /2x',
4x'2y'2 = - 8a2x'2, etc.
Note. - De cet ensemble nous ne retiendrons que la premi6re
et la derniere quartique aux fins d'6tude; au pr6alable signalons
dans quelles conditions le procede fournira une quartique
degeneree comprenant la droite x' = O. C'est manifestement
lorsque x' figurera en facteur a la fois dans f/ ou cp et dans /2
on 9c des deux produits /11, f2/2. A cet effet on disposera des
cinq termes g6n6rateurs
x'2, x'2-2aV2x', 2x'2, 2x'2-2a\/2x', 2a/2x'.
Aux deux r6sultats pr6c6dents adjoignons a nouveau
(X/2 - 2a /2x')12 = (2x2 -2a V/2x') y2, etc.
EXE;RCICE. - Examiner '2(X'2 - y12) _ 2a/2X(12 _ y'2)
pour I =2a\/2 et aboutir au th6or6me suivant.
Theoreme (1). - L'hyperbole equilatere dont le centre et les
sommets sont le milieu et les sommets d'un cote du triangle equi

(') 'Consequence du theoreme de Fregier.