Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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DEUXIEME PARTIE

Adressons-nous au systeme x'Oy' et aux quatre lieux simples
x2 y_ y2 _ 1 x2 _ y2 _ 2a 2 x', 2x'2 - 2a2 x'- 12,
2y'2 2a2 /2- 12.
Formons par exemple
/ x'2 -y,2, 1 2 2 2 1 -2a 2x', 92,X'2 y',
d'ou 2a /22x(x2 - y'2) = 2(x2 -y/2).
On reconnait la strophoide.
Formons encore
/1 -x 2 + y-2, f2 1 -12 2 + 2a/2x', 92 = 2x
d'ou (x'2 + y12) (12 + 2a2x') 212x'2
donnant la meme courbe.
Formons
/1 1 x'2 + -y'2, /2 12,?1 2aV2x', 92 2x'2 -2,
d'ou 2a2V2x'(xZ2 + y1'2) 212X2 + 14 = 0,
cubique cyclique, admettant Oy' comme asymptote, que l'on
- 2a 2'2 x3 -- 212x'2 14
peut 6crire y'2 -2a _ 14
2a /2 x'
mais dont nous n'entreprendrons pas l'6tude par trop complexe.
Formons
fl - x' + y'2, 2 = 12, 9 = 2a 2x, 92 12 - 2y'2,
d'oii la cubique de meme esp6ce que la pr6c6dente, mais plus
accessible, 2a/2x'(x'2 + y'2) + 21y'2 - 14 = 0,
2 2aV/2xI3 + 14
ou Y12 = -
2(a/2x' + 12)
Formons
/ a 2x2, /2 -12 + 2aV2x', i - 2a 2 x', 92 =12 - 222
d'oui 4a /2x'3 (12 + 2a\2 x') (12 -2y2),
dont les termes du troisi6me degr6 comportent egalement
X,(X,2 + y2).
EXERCICE. - Obtenir de nouvelles cubiques et constater
qu'elles comportent un nombre plus grand de termes.
' - 2av/2x'3 + 14
Ne retenons que '2 - - - '
2(aV2x' -+Z 12)