Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DEUXIEME SOLUTION
Dans tous les cas de.rationnalit6 de in une conclusion s'impose,
c' est que le discrimin-ant de?p devien-t num6riquement carre
parfait. En efftet, in 6tant rationnel, il en sera de me'me de1 ~~~~~12
MIn ~+ ainsi que de - entrant dans 1e'quation cp (s) 0..
in ~~~a2
Par suite, cette 6quation quadratique a coefficients rationnels
devant avoir une racine rationnelle, soit S', son discriminant
ne peut 6'tre qu' un carr6 parfait. A titre de vd6rification prenons
4 1 5...12\ 4 6
in -;le disc'rimnant de?sera yt~ —) x 16
c' est-4-dire le carr6 de 2 x 3
12
Ii s'ensuit que la deuxi~me racine s' est rationnelle, attendu
que la somme s' +~ s' vaut 2. Mais il ne s'ensuit pas n6cessairement que les racines en in correspondant a 'cette deuxi~me
racine de y le soient, attendu que le, discriminant Sll2 -4
n' est pas force'ment carr6 parfait.
EXERCICE. - Raisonner sur in' et sur I comme on.vient dele faire sur in et sur cp.
R~sumons dans un th~or~me (1), apr6s avoir constat6 quele discriminant int6ress6 pent se remplacer par 1IH- et
memne par a2 1, les considerations pr6c6dentes.
The'ore'me- - Quand le coegldcent' angulaire in ou in' d'irne
droite de Pappus au moin es an ti~ement rationnel,leprsion a2 ~ 12- est nain~riqueinent rationnelle carrle partait.
La r~ciproque n'est pas vraie (mais le serait pourMin2).

(') On rencontrera, kchelonn6s au cours des solutions qui vont suivre,
une s'6rie de th~or~mes se rapportant uniquernent ~ notre 6tude.