Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

SOIXANTE-CIN.QUIEME SOLUTION 24-9
Formons par contre le r6seau orthogonal entre. la paraLole
des quatre points P1 et les deux hyperboles -accoupl~es. Letirs
formes sont, si on les rapporte ai x'O'Y',
2Yt2 + 2aV2X' + 2a~2x,' - 1 X12 -Y'2 - 2FI(N.
DWrivous; il vient 2Y'dX + a42 0, X' Y' (X) 0.
Chaque hyperbole coupera normalement la parabole &Lux
points-solution sitn6s sur la droite V2 X ~a-2?, + eVa2}1,
Si lVnaY2- 2X. Cette fois l'interpr~tation conduit i) uin
r6sultat remarquablement simple:les points en questionl se
I aV/2
trouvent Sur une nouvelle parabole de parametre 0i- *~n
sommet 0' sera d6fini par l'abscisse 21' X<2, oui?, r~sulte de
I'6limination de X', Y' entre les relations des deux paraboles
3a2 -12~_j.3cjS/
et de leur s6cante commune. On trouve,?, - 2a_______
En particulier, Si on choisit e + I relativement A PIP'
on retombera Sur la valeur 12 - 1+ ~7 a2 de la L1lle stoiu2
tion lorsqu'on placera 0' en A de mani~re que l'hyperbole
int6ress6e coincide avec la foudamentale. Line autre valeur
particulie're 12 15a2 correspond an cas ofi 0' se confond
avec 0.I
Associons ddsormais la parabole trouvde et l'anciennie, en vue,
de ddfinir les points-solution. Fixons a, cc qui procure un.
paramftre constant aL chacune de ces courbes, dont les sommets
respectifs varieront en medme temps que 1. Discutons d'.abord la.
rdalite' de P, p/ corresp ondant a 1. D'aprds la disposition des lieux, touruds en Sens contraire, il suffira que le
12
sommet 0' soit a gauche dn sommet E on que l'on ait ~ a~
c'est-?i- dire 2(3a2 ~12 ~ 3a\ ) 12, on 12 > 8a2. Discutons.
ensuite celle de PK P'. Il snifira, quand on choisira e -,
que l'on ait 2(3a2 - 12 93a \J <2,ou 2a2-2 < 2aV,
indgalit6 ddja vraie Si '12 > 2a2 et se ramenant a12 < 8q2 Si
12 < 2a2edt par suite encore vraie.
Q uaut au calcul des coordonudes de P', preemple, il con