Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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248 ~~~DEUXIE~ME PARTIE

LXVe Solution
M6thode de la double courbe commune. Par une i6tude
plus approfondie des r~seaux orthogonaux, nous inettrons en
6vidence une nouvelle parabQle,,de grandeur constante quand
l vanie, qui sera adjointe a un lieu quelconque de P1_ pour d~finir
ce point, et de pr~f~rence a la premiere parabole.
Reprenons les cercies orthogonaux, mais cette fois en exprimant ]a condition d'orthogonalit* par les d~riv4~es. Rapport~s,
a 0', u s se formulent
X'2 ~y12 + 2JX/X + /2 -12, X12 + y!2 c(i
dY' (dYl 'de a
Les pentes ~- I des t)ngentes en P1 sont donn~es par
dX't 0 - ' + \dX'J 0
Leur produit vaut — 1, d'oiiil X'2 + Y' 2 ~ '' 0. L'1iIinination de X', Y' conduit sans peine a l'ancienne valeur
-V2(a - eV). Au surplus, la relation d'orthogonalIt6
signifie que (X', Y') appartient a un cercie passant par 0' et
par 0:on reconnailt le cercle (OP1.P'), de sorte que nous sommes
ramen6s aL toute association ant~rieure oA figurait ce cercle.
D'un autre cot6, si~nous revisons la condition d'orthogonalit6
des hyperboles (LXIIIe, solution), A sa-voir
X/2 + Yf2 -t+ 2? a)X -' 0,
elle signifie que P,. appartient an cerele (0'P P'), qui ne joue
pas un rol-e essentiel, le point 0' d~fini par
(a + eN/~-) a~ /
ne se pr~sentant pas tr~s simplement.
Essayons de cr~er un nouveau r~sean orthogonal entre
l'hyperbole initiale et les cercles (0'). Le calcuil par les d~rivkes
conduit A X' 2 - yf2 ~ V2(X- -- a)X', hyperbole 6quilatkre
portant deux points-solutions et ayant un sommet en 0'.
Cette courbe ne se pr~sente pas non plus simplement, 6tant
donn6e la position assez compliqu~e de 0'.
ExERCICES. - 10 Rechercher
20 Tenter un essai analogue eutre le cercie initial et les
hyperboles de centre 0'.