Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

SOIXANITE-TROISIEME SOLUTION24

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Note. - On reconnailt dans Tx' l'abscisse du point de rencontre,
ateqe0, de Ox' et du cercie (OPTP'~) si e; -.1, ou (0pyP)
Si e - I~. La gborn6trie confirme sans difficult6 ce r6sultat
si on se rappelle la transformation par inversion de P1,P' en
(OPP') par exeinpie. On. reconnait encore dans r' ecarr6 du
rayon dn cercie de centre Al portant deux points-'solution. C'est
dire que la m6diatrice de A1O' se confond avec la droite de ces
deux points. Confirmons ce nouveau resultat en montrant, que
la derni-somme de 2aV2 et de TX' vaut x'; on a
2aV_2-V~2 (a - zV) _a~ /
2 ~
et 6non~ons:
Th'or'~e -_e yirqe eA par rapport aux bases
du trape~ze de Pappas sont les centres dle deux. cercies coupant
orthgonaemet leceriereconscrit aa trapeze en ses quatre
sommets,,
Variante.- Constituons enfin un r6seau orthogonal d'hyperboles 6quilate'res adinettant touj ours Ox' pour axe de sym~trie.
Le couple hyperbolique et l'hyperbole initiale rdpport~s
X'OY' sont X/2 - Y'2 - 2F'(TX)
X'2 - Y12 -+ 2v'2 (X-a)X' -HF 2?X(Tx - 2a) 0, ___
oii l'on sait que F'()X) d6signe -2aTx + a - TXa)Va 12
et que le signe de s se prend dans Ia droite correspondante
'2 Xi'~a -2TX + Va2 + 12
du couple droit portant de'ux points-solution (Lxe solution).
Les pentes des tangeutes au point commun (X', Y'), fournies
par les relations
dY'
dX'~x
ayant - I comme produit, ii vient
X12 ~ y12 + \/2 (X-a)X' -0.
Tenons compte. du cercle primordial
X'2 ~ Y12 -+ 2T_2 X' v2Tx2-12.
on aura (T - a) ~/2 X'1 + 2TX2 -12 - 0.
Tenons compte de la droite ci-dessus, on aura
Tx -(aA-+ V Iaa $ )2