Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

SOIXANTE-TROISIEME SOLUTION 2~

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Ce faisceau comporte le syste'me 6tranger XY portant les
points a l'infini communs aux courbes utilis6es et se r6duit a
nouveau a XY, Si l'on a F'= 0.
Note. - Signalons en dernie're ligne une identit6 remarquable
qui nous est fournie par la resolution de F(XY) 0, au moyen
de XY F'(k,). Si l'onr 6crit la decomposition habituelle de F
en ses facteurs de forme XY - F', on a, en 6galant les termes
independants de la variable XY,
4- 2aX3 + (2a2 -l2)?,2 + 2al2,- a212
[X2a + 2+s )V 2+l2][X2a 2 (
identit6 que nous avions, mais d'une manie're un peu artificielle, obtenue aL la fin de la XYJIe solution.
LX11le Solution
M~thode des r~seaux orthogornaux. -- Roprenons Fid~e
exprim~e incidemment aL propos de l'hyperbole et do la parabole
(LIJIC solution), a savoir qu'un point ost d'autant mieux
obtenu graphiquement que los courbes trackes pour le construire
se cou pent sous un angle droit.
Les courbos les plus simples A utiliser sont 6videmment des
droites rectangulaires. Nous disposons des paralliles aux axes
Ox, Gy, ou aux axes Ox', Gy' et nous savons les tracer. soit on
calculant an pr~alable lours distances a l'origine, ce sont los
valeurs absolues de x, y ou x', y', soit en construisant a la re'gle
et an compas los expressions irrationnelies en a, 1 qni repr6 -sentent ces valeurs. Si nous d~sirons rendre ce procWd syst6 -matique, nous sommos conduits a tracer une s6rie de r~seaux
orthogonaux rectilignes, relatifs aux diverses valeurs num6 -riques des parame'tres a et 1. Ii convient de choisir d'abord a
et de calculer ensuite x, y,... r~pondant aux dilffrentes valeurs
do 1. On obti~ent ainsi un jon do r6seaux, dessin~s sur papier
millin~trique do preference, permettant d'atteindre d'ailleurun double but. En eff ot, si l'on part d'un couple do valeurs a, 1,
pour avoir los points do Pappus P1. correspondants, ii suffit do
s'adresser an riseau (a) et d'y rep6rer los droites rectangulaires
(1). Leurs points do croisoment figurent los points en question.
Inversement,7 si on a construit indipendamment do ce proc6d6
un point P1, et mioux, si on vent transformer en quelque sorto