Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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DEUXIEME PAUIE

Variante. - Voici le nouveau proc6d6 autonomne. Forirons
le faisceau biquadratique des droites joignant l'origine choisie
0' aux quatre points-solution et exprimons que deux d'entre
elles sont rectangulaires, cest-a-dire r~pondent a l'6quation
XY 0.' Dans ce but, rendons homoge'nes les formerly du
cercie et de l'hyperbole primitifs relatives a XO'Y
(2?,2 -12)Z2 ~d 2?k(X Ad- Y)Z ~4 X2 + 21
-,? 2a)Z2 A- (X - a) (X + Y)z + XY
et 6liminons la variable d'homog6n6it6 z aFlaide du r~snltant.
On a
[()2- 12)XY - a(X2 ~_ Y2)]2 - V22 12) -a)
- 2;k2(X - 2a)] [2?XXY - ( - a) (X2 + Y2)] (X + Y)2 -0.
Remplacons (X + Y)2 par X2 + Y2 + 2XY et constatons
que le d6veloppement du premier membre renferme des termes
en (XY)2, XY(X2 + Y2), (X2 A- y2)2.
Pour que XY se mette en facteur il f ant que le coefficient
de (X2 ~ y2)2, on
-2 2a)2 +(?X - a) [ (2)X2' 12) (X - a) - 2X2(X, - 2a)]
s' annule. On retombe sur 0(Xk) =0.
Note. - Ce proc6de6 donne an surplus les droites 6trange'res
joignant deux points-solution an point de concours 0' des
parallikles a Ox, Oy men6es par les deux antres. Les quatre
points 0' 6taient d'ailleurs d~signi~s par Q1, Q2, Q3, Q4 sur une
figure ant6rieunre.
Note. - Il est possible, a l'aide de lieux de P1 portant senlement deux points-solution, de d6gager un faiscean quadratique rectangulaire de forme XY, sans introduction de faisceau
stranger. Le meilleur lien A cet 6gard sera 6videmment le
couple droit. Associons-le pour fixer les id6es a l'hyperbole
initiale. Leurs formes bomoge'nes
X + Y -(a - 2x ~eV/)z,
XY + (X, - a) (X A- Y)z A- X(.x -~ 2a)Z2,
oi- s remplace S2 conduisent an faiscean de sommet 0'
XY(a - 2X A- Z~)2 A- (X - a) (X A- Y)2 (a - 2X - sV-)
A- MX( - 2a) (X A- Y) 2,
se re'duisant a XY, si l'on a F'(:k) 0, comme on voit.
Remplagons le couple PjP', P'P~' par celni des hyperboles%
de centre 0', c'est-a-dire XY - F'(?X). Rendons homoge'ne et
6liminons z par l'emploi du resultant, on obtient
[F' A-?4X? - 2a)]2.X2Y2 - F'(X - a)2(X A- Y)2XY.