Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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236 ~~~DEUXIEME PARTIE

LlXe Solution
M~thode. - Nous ferons' jouer. an point fondamental A le
ro'le que vient do jouler A,1 dans l'obtention des couples soit do
cercies soit d'hyperboles de centre commun A:,.
Remarquons aussito't quo les hyperboles so confondront avec
l'hyperbole primitive do centre A, asymptote A AX, AY. En
effet une conique? qui posse'de ces trois 616ments no d~pend plus
quo d'un parame'tre do grandeur. On la d~termine complOtement en oxprimant qu'elle contient un point-solution et
c'est ce qui est r~alis6 avec la conique fondamentale.
Obtenons senlement los cercies. Partons du cercie et do
l'hyperbole initianx rapport~s a x'AY', dont los nouvelles
f ormes seront
X12 ~ y12 +d 2aV2 XI + 2a2 -12, XI2 - YI2 - )2.2
Si l'on choisit provisoiremont los coordonn~es polaires, ii vient
r'2 + 2aV r' cos c.' +4 2a2 -12, r/2 cos 2('- 2a2.
D'ofi l'on d~dnit r'4 _212'r'2 + 14 - 4a~l - 4a,
on I (X12 + Y/2) - (X'2 + y/2)2 -J22(X12 +Y12) +14_ 40a-,f,~ 4a
ou ~~~X12 + y12 r-4 2 23V2 — 12,
Deux cercies so manifestont dont lFnn constamment TMe et
dont la r6alite6 du second exige la condition 12> 2a2(
Formons d'abord le syste'me d~riv6 comprenant / et lo couple
droit do nouvelle forme X' - aI Va+1 oui possode,
encore son ancienno signification. On posera e -3 ' si lon
s'astreint a 6viter los points Otrangers. Pour e- 1,on aura
122a2 ~2aV
y12 2 ~~~ropondant aux solutions P', PF'. Pour
12 - 2a 2 - 2aV'rpdat P,1
S z+ 1 onauray12- 2PP
r~els Si 12 > 8a 2.
Variante. - Laissons l'association do toet du cercie do centre 0
(le faire en exercice) et prenons. f ainsi quo l'hyperbolo do
centre A. Ecartons los sym~triques des points-solutioni par
rapport A A. et calculons
2XI~12 l+ 2a 2-.2asv -(a-4F)2,
2Y'2~ 2 - l 2a 2- 2a eV etc.