Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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232 ~~~DEUXIEME PARTIE

ce qui n'a. pas lieu. Si l'on Suppose 12 > 8a 2, la conidition
s'exprime par
1 <~ 2aV ~ 2 p4a2 - 4aV, ou 2aV2 <ce qui a lieu.
EXERCICE. - Discuter l'intersection des cercies par le procMd6
ordinaire.
Le calcul relatif aux coordonnkes de P' se fera en substituant
h X12 + Y12'sa valeur connue tL l'aide du grand cercie dans
l'6quation du cercie fondamental. Ii vient
3a + V'
12+ 4a2 + 4aV7 + 4a~2 X' ~l 8a I on XI'
et on retombe sur les operations ci-dessus.
Note. - Au fond, cette substitution revient a remplaocer I'un
des cereles par leur axe radical, en l'espe'ce P'P'[()
Variante. -- Associon s f et l'hyperbole primitive, devenue
X2- Y'2 + 2aV2 VI. Le grand cerele donne dejh deux
points itrangers sur la branche de'sommet A,. et r~alisera
P.", P//, sil'on a' 12 + 4a 2 +t 4aV' > 8a2, auquel cas le second
sommet 0 lui sera int~rieur. Cette condition est remplie d'ellememe. Le petit cercie, exigeant 12> 8a, r~alisera P,, P. II
donnera en outre deux points strangers sur la branche de
somrnet 0, si l'on a 12 + 4a 2 - 4aV > 8a 2, onU 12 > 24a 2
Le cas particulier 12= 24a2 produit un fait remarqua-ble (2)
la coincidence du lieu actuel de P1 et P' avec l'ancien lieu
(0P1P'). IRnon~ons:
The'ore'ne. - Pour 12- 24 a2, le cercie dont le centre est le
sommet A1 de l'hyperbole ~quilate're circonscrite au quadrilate're
de Pappus et passant par l'attre sommet 0 contient les so inmets
P1, P'de ce quadril ate're.
Le calcul de XI', Y' met en 6vidence les solutions e'trange'res.
On aura pa r voie d'addition des formes convenables des lieux

(1-) Voir plus loin la m~thode d'enche'vftrement.
(2) Cette valeur 24a2 attribude A~ 12 m6rite une mention spdciale on remarquera qu'elle rend rationnels num6riquement et littdralement, tout Comme
la valeur essentielle 8a2, les radicaux ~a2 + 12, y12 -8 a2.