Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

CINQUANTE-SEPTIE'ME SOLUIJTON23

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on1>8a. Yoyons au surplus si 1'autre droite coupe ce meme
cercle Imposons l'in6galit6
~ -3a - \/)2 < 12 + 4a2 - 4aW,
on 14 - 200a~l 192a4>0 on 12 > 4(25 -+ \/7 X 91);
A cette condition deux points itrangers r6els s'ajouteront aux
six autres.
Passons au calcul des coordonnies nouvelles de P' par
-3a -Va2 + 12
exem~ple. On aura X' - ______
V2
-2a2 * 2ava2 +v1
V ~~~2
On roltrouve la meime ordonn~e (y' Y').
Va~riante. - Accouplons f et le cercle fondaniental dont la
fornie est devonue
X12 + Yl2 + 4aV.2 X' -~- 8a2 -12.
Cetite fois nons n'avons pas do solutions 6trang~res r6elles.
An lieu de discuter l'intersection de deux corcies, en exprimant commun6mont quo la distance des centres est comprise
entre la diff 6rence et la soinme des rayons, roconnaissons aL
l'avance le plus grand des co'tis du triangle forms par los
centres et un point commun et ex'primons qu'il reste au-dessous
do la sonmne des deux autres. Pour le grand cercle du couple
quipore P, P, l raonjoun e ro'le:imposons donc la
~condition
\12 -~-4a2 v4aVa2 + 12 <1 -t-2aV2, on Va2 ~ 12< a 0
cc, qni a touj ours lieu. Pour le petit cercie, il y a doute; on
constate senlement de's l'abord quo son rayon est inf~rieur A 1;
en elffet on a
2 +4a2 4 aV < 12, on a< V~a21.
Mkais ce rayon pent surpasser on non la distance des centres
2aV2 suivant quo l'on aura 12 +4 4a2 4aV > ou < 8a2,
IOn, apr1es reductions,2 > on < 24a. Si 1'on suppose 12<8a,
Ia con~dition do rialit6 do P, P' so traduit par
2aV2 <l-v\/'12~4a 4,aV, on 2aV2< 1,