Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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230 ~~~DEUXIEME PARTIE

Variante. - Op6rons avec les axes AIX, AIY parall~les A
Ox, Gy et s-ur les nouvelles formes
X2 Y2 -4a(X +vY) 8Sa2 - 12 ~~0, XY ~ a(X ~ Y) =- 0.
Adjoignons l'identit6 X2 + Y2 __ (X +~ Y)2 -2XY et 611 -mninons X +I Y, XY entre les trois relations. On retombe
sur 'aA ceci pres que 2~y se substitue AL son equivalent
X2 ~y12
EXERCICES. - to Avec les premiers axes 6liminer X',
X12 -f Y2 en tenant compte de l'identit6
X12 + y12 -2X12 - (X'2 - Y1/2).
20 Retrouver les, valeurs de r'2 en formant le carr6 de la
distance entre A, et un point-solution d6fini soit dans le syste'me xOy, soit dans xTOy'.
Cela 6tant, associons f et le couple droit do-nt les droites ont
-4-s'2 + 12
pour nouvelles formes X' 3
IRemarquons essentiellement, avant toute discussion, que la
condition 12 > 8a2 s'impose pour la r6alit6 d'un des cercies
trouv6s, celui qui correspond Ael. I et ad met Ile plus
petit rayon. DWoI,,Ire hypothe'se: 12 < 8a2. La droite P'P'' r6pondantA
-I coupera r6ellement le seul cercle r6el de f, puisque
le carr6 de sa distance an centre Al sera inf6rieur au cqrr6 du
rayon, car l'in6galit6'
3(3a - — 'a + 12)2 < 12 -4a2 +-4a~a2 +12,
ou 2a2 1 2aVa2~2
est r6aiis6e d'elle-me'me.
Notons la pr6sence de deux points 6trangers.sur PjP' qui
coupe r6ellement le cercle, vu que la 'condition precedente se
remplace par 2a2 12 4aVa2 N 2 raie a fortiori.
2e hypothe'se: 12 8aSO. Les quatre points ci-dessus subsistent.
En outre la droite PIP' rencontre le second cercle r6duit Ah un
point A1 en ce point, oii coincident P1 et P'.
3,e hypothe'se: 12 > SO2. Les quatre points subsistent encore.
Alontrons que la s6cante telle que ~ I rencontre le petit
cercle en P, P'. L'on a
3(~~~:aa~~~~f)2<i~~~2~4 24aJ ou 12I 2a2> 2aV,