Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

CINQUANTE-QUATRIE'ME SOLUTION 23

2,23

Sur les huit points corninuns, la figuire montre P existence
constante de six d'entre eux. Les deux points douteux PI, P'existeront r6ellement si le sommet de la quartique soe situe -A
l'int6rieur de la coniique, c'est-A-dire si on a
12 -- 011 1 (12 8 a 2) (12 +-i 4a2) > 0, ou l > SOa2
Le second m6canisme opi~ratoire fournira
12- 2y/2)2 12F(12 222 2 -12-y2) 0
[(12 -21 121 (l2- 0
on [4yl'4- 4(12- 2a2) y'2 -~ 12 (12 -8a2)]
X 4y4 - 4 (12 A-42) y12 + 12 (12 + 42)
On retombe sur le syst~me rectiligne parallkle ii Ox' d6'& ittifis6-.
EXERCICES.- 10 Le calcul qu'on vient de r~aliser est alieg&
en posant 12 - 2y'2 - 2Y'2 il est alo rs de me'me nature quo
celui que fournit le premier me'canisme ope'ratoire. Se rendre,
compte de cette assertion.
20 A l'gard du trapeze isoc~le des quatre points Atrangers,
Si 2B1,. 2b1, 2h, d~signent les bases et la hauteur, aboutf A la
relation simple B 2 + O=2
Variante. - Remplacons la quartique de prernii~re sp~ae,
par celle de deuxie'me espece,
2y'2 (rn'2 - y'2) -r, 8a 2X'2 - 12 (Xn'2 -y2)
La solution so simplifie. En effet, des huit points comnmuns,
deux- so rejettent A l'infini sur y' — 70 et deux autres, do, coor1
donn~es x' 0, y' ~ - so trouvent sur Oy'.' La conique,
rencontrant los branches infinies do la quartique asyrfipto-tos
Ox, Oy en ces points remarquables, la coupe en outre on 1
P'. La forme des branches so croisant en 0 assure le'xistenco
do P1, P', pourvu que ces branches existent, ou quo Pen ait
12 > 8a 2.
Rendons-nous compte du calcul des coordonni~es d'un poin-tsolution, par exemuple dans le premier mode op6ratoire. Subsl'eprsson12 - 2ay'2x'
titUonsg A y'2 1'xrsin- 2;il vient
x 2-12 - 2aV~x' +8 X.
- 2aV2x' (X2- 2 ) ax 0
ou n' (2x'2 -~ 2 aV.9x'-)12) z- 0.