Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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222 IJ~~EUXIEME PARTIE

Six points communs se manifestent, dont deux solutions
P", P'[, reels, sur les branches infinies de la cubique. L'allure
g6om~trique la plus nette est celle du cas ois le sommet de la
cubique se place en dehors ou, a la limite, sur la parabole. On a
12 12
la condition -> - exigeant le signe de l'galitU.
2a\/2 2aV2
Signalons en passant Ia coincidence dc E et Z et 6non~ons
Th~ore'me. -Les points de Pappats P1 peuiwent se dderininer d,
V'intersection d' ane parabole et d' une strophoide de m~me axe et
de mnime sommet.
DNs lors le point de vue g6omi~trique devenant i~nsuffisant
pour s'avoir si les derniers points communs so'nt ri~els on non,
recourons a I'alge'bre. Eliminons y12; il vient
2aV~xI3 - l2XI2 + (2av72x' +1 12) 1l2 - 2a\/2x' 0
on 4a V2XI3- 2(12 + 4 a2) X12 + 14
(2XI2 - 2a '-12) (2a/2x'- 12) =0.
En outre des s6cantes communes portant P" et Z, la troisime"M
a -~ Va 2 ~-12
secan'te x' se met en 6vidence et, comme on
l'a vu, fournira. r6ellement P., PsI lonaj a
Quant an calcul des coordonn6es d'un point-solution, le
premier mode op~ratoire a repu un commencement d'ex~cution;
il a permis de revenir au couple droit: on retombe done sur des
operations ant~rieures. Efflectuons le second mode. II vient
(12" - 91'2) -1 2 H2/ '21- 12F(12 -y22 1.=
8aO yJ 8a2 y2 0,
ou y'[y4-4(2- 2a2) y12 12 (12- 8a2)] ~~0.
En outre de la s6cante double y,2 =0, nons retombons stir le
syst~me bicarre' paralle'le A Ox'.
Un cas remarquable correspond a 12 8 a 2; traduisons-le en
formulant:
The'oreme. - Lorsque 12 vaut Sa 2, la parabole et la strophoide
deviennent osculatrices en leur soinirnet commun.
Variante. - Associons la parabole et la quartique de premiere
espece
2y';2 -+i 2a2x' - I2 2x2 -x2 y2 Sa. - 12 (XJ'I -y2)