Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

CINQUANTE-QUATRIEME SOLUTION

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Determinons les coordonn6es de P1. En eliminant y'2 on aura
2x'2 - 2\2 2 + 12 x' +- 12,,, ~a + ~ a2 t- 122 -a + Va2 + 12-
2x'-a O-./a 2 - 1 z
Ecartons la valeur etrangere, il subsiste x' = —a a2
~2
d'oU l'on d6duit sans peine y'. Au contraire eliminons x', on
2aa - 2y'2)2 2 2 (1 -- 22)
aura,= 0,
8a2 q'2 y (a- \la 2a
ou 4y' - 4 (1 - 2~\/a2 + 12) y'2 + z12 (12 -- 4a2 - 4a\-) ): 0,
ou [2y'2 (12 2a22a/2 2a)][2y2 — 2 (12 -2a2 2av-) = 0.
Ecartons le premier facteur 6tranger, il subsiste
\/1 2 - 2a2- 2a\/a2 12
d'ou 'L onl deduira x'.
EXERCICE.- Suivre une voie analogue a l'6gard du second
cercle.
Relativement a la figure examinee nous 6noncerons:
Theoreme. - Les cercles dccrits sur les cordes communes
(paralleles) t la parabole et aux axes Ox, Oy comme diametres
sencontrent Ci nouveau la parabole en quatre points situes sur un
meme cercle de centre 0.
Note. -Ce th6oreme ne se rapporte pas uniquement a la
parabole du probleme de Pappus; il est susceptible de generalisation. On observera a cet effet que l'6quation d'une parabole
quelconque rapport6e a une origine prise arbitrairement sur son
axe et a cet axe comporte deux parametres tout comme celle
qui nous occupe, et que deux droites issues de cette origine,
inclin6es 1 45~ sur l'axe, jouent le role de Ox, Oy. On formulera
d6s /lors un enonce general.
Variante. Adoptons l'ensemble de la parabole et de la
strophoide
2y'2 2af 2 x' - 12, 2av'2 x' (x'2 - y'2) - 12 (x'2 - y2).