Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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DEUXItTME PVRTIE

216 DEUXIEME~~l PXTI X aer
elle se place dans l'intervale, pour lequel les ler
correspondantes de y' sont imaginaires.
EXERCICEs. - j Justifier la position de la racine.
20 L'6quation f/ 0, avant de se r~duire, se pr~sentait,
comme 6tant dn hnitie'me degr6. Indiquer la natnre de'S points
d'inflexion reels.
30 Remarqner, en mettant par exemple la seconde quartique
sons' la forme x' 2 qu 'n.psed
2y- (12 -SO)' quI 'npsed
l'une ih l'autre en 6changeant x' et y' et en diminuant on, en
augmnentant 12 de 8a2. Ecrire alors a priori l'6quation aux
ordonn6es des points d'inflexion de cette seconde cou rbe et
montrer que sa racine r~elle positive ne convient pas.
Note. - Ce passage d'une 6quation fl I'autre permet d'6viter
1'6tnde d~taill6e, de l'une des qnartiques. Ainsi la deuxie'me se
di~duira d'une quartiqtie de prerniire espkce, dont le paramn~tre 12 sera tontefois diminn6 de 8SO, par nne rotation de 900
antonr de 0. Si l'on fait varier 12 d'nne fa~on continue Ai partir
de z~ro, les quatre branches de la conrbe de premiere *espeee
existent constamment (constater sa decomposition ponr 12 0),
tandis que pour la conrbe de seconde espkce les branches fi
l'origine n'apparaissent r6ellement que ponr 12an nmoia1s egal
SO8a (sa decomposition se produit ponr 12 — 8a).
Lille Solution
Mfthodologie. - Recourons d6sormais ~ la parabole des
quatre points P1, pue nons avions provisoirement kcart~e. La
raison en 6tait qne lorsqne 1 vanie, le sommet n'occulpaft pas
nne position fixe, toute la parabole de grandenr constante se
d6place dans nn monvement d'ensemble et qu'aucuhi arc
privil6gi6 ne se manifeste sur cette conrbe, comme '& tait par
exemple la branche de sommet.0 pour l'hyperbole fo2 damientale. Mais ce d~f ant d'ordre gi~osntriqne sera compens6' par la
simplicity algibriqne de son e~quation qni se pre'te resnarquablement an calcul. Du reste, la facon dont cette conique d~rive
des deux lieux fondamentaux milite d~ja~ en faveur de son
adoption. De me'me, en effet, que furent obtennes ci-dess,`us par