Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

CINQUANTE-DEUXIE'ME SOLUTION,21

215

On ena d6duit (1 t2 1t4- 2(12 +~ 4a 2)t' 2 + 12 -8a2] 0
rernettant en 6vidence la re'solvante en t'2 de la Lye solution.
La. racifie convenable 2 12+4 +aa2 1
12
Produit ~r l2 a W-2-t doii x' - 7'a 1
2 Va2 + 12 + a'et, ensuite,7 y' t'x'
1'(12 +2a2 2 2 +12) (12+ 4-~a2+ 4a Va2 +12)
lV2
y/ ~12 -2a2 +, 2aVa2 + 12
on 2
Note. Les branches t l'origine de la seconde quartique,
avons-nous' dit,7 ne pr~sentent pas d'inflexion (si ce n'est en 0
on ~ Pinfini en direction Ox'). II en est de me'me de la premiere
(si ce n'est en 0 et aL linfini en direction Oy'). Si des points
d'inflexion existaient, en tracant les courbes avec quelque
soin on trouverait des droites les rencontr'ant en pius de quatre
points. Mais le calcul permet de conclure plus formellement.
Noils raisonnerons sur 2'-12 ou ) 2+8a2,
relativement ~h la premieire courbe.
En de'rivant, ii vient dy' x5-42' 2,x
I 71~~dx (2X'2 -i12)2
En d6rivant A nouveau, ili vient yI d I x')y ~
(2x ' 1)(20X'4-1212X'2 + l,2)-8X'2(4X'4-4l2X12 12?X2)
(2x'2 - 12)3
L'6.quation aux abscisses des points d'inflexion s'obtient en
f aisant d 2y6gal a' zero et en 6liminant y'2 ainsi quedy2
dx'2 7
On trouve, apr6s de notables reductions,
f(X12) - 4X14 1-42'2 32>,2-0
Or la seule racine r~elle positive de f ne convient pas, car