Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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DEUXIkME PARTIE

Les points communs an nombre de seize se distribuent ainsi:
quatre ak l'origine, deux A l'infini sur l'asymptote commune Ox,
deuxv- A l'infini sur Oy, quatre points-solution et quatre sym6 -triques de ces points par rapport aux axes. La simple inspection
de la figure montre la r6alit6 des points P', P' et celle de P1,P
pourvu que les branches A l'origine de la seconde courbe
existent, ce qui exige 12 > 8a2.
Insistons seulement sur le calcul des coordonn6es, de P' si
on vent. L'addition des formes fournit
(x2 - y12) (X'2 ~ y'2 - 12),
remettant en 6-vidence le cercie. fondamental. Si on I'associe A
la frme e lapremi'r qatique par exemple, on. retombe sur
un calcul ant6rieur. Leur soustraction fournit
(xI2 - y'2 - 2aV2 XI) (x '2 - y' to + 2a'2-x'),
remiettant en 6vidence l'hyperbole fondamentale et produisant
an surplus l'hyperbole sy~m~trique reladtivement A 0. Le calcul.pent de's lors s'effectuer avec le cerele et l'hyperbole primitifs.
ExERCICE. - Expliquer l'apparition des formes 6trange'res
- y'2 x'- y' + 2a~2x'.
Variante. - Servons-nous des formes polaires respectives
12-Sa 2cos2O' + 12co s 20' '2 — 8a2cos2O' +~ 12co s 20'
2 cos2O' cos 20' 2 sin2O' cos 20'
On en d~duit cos,20'(lco220' - 4a cOs 20' - 4a 2) =0,
rerrnettant en 6vidence, en outre de cos 20' -0 qu'on expliquera la r6solvante de la Iye solution. Montron's que quelle que
soit vnela racine utilis6e de cette r~solvate p2 se change en 12.
-42('1 co 2' 12co 0
En effet, il vient p'2 (14 -~- cos 20')c1- -os 20'
4a2 1 4a2)cos 20'
- 2 ~os2O' 1cos220
Rem ipacons S2cos20' par 4ctaH 4a cos 20', l'on a p'2 -12.
2a
DWs Ilors cos 20' (a -\/a2 +12), H?' 1 cos 0', g' 1 sino',
et nous revenons a un calcul eff ectu6 ant~rieurement.
Va~riante. - Servons-nous des formes param~triques
12 + Sa2- 12t' %'2 1 8a2 -122
2(1 - t'2) - 2tI2(1 t'2)