Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

CINQUANTE-DEUXIEME SOLUTION23

'),,I Q.4.j -L Ij

Le couple PP', P~P' est compris dans cette fom qu, eorn
posse, s'6rit
(2x'- 2aV2x! 2 [2aV2x' (2 4a)x~ at2V2].
SuppoSons 12 > 8a2 pour que la qua'rtique poss~de re'ellernent ses branche's se croisant en 0 elles couperont la boucle
de la cubique en deux points seulement P1 et P' si les droites
dtu second f acteur sont imaginaires, ou en six points si ces
droites sont r6elles, car dans ces conditions leurs abscisses
seront positives. Or le discrimninant de cc facteur,
14 2-4a12 A,- 16a4,
admet deux racines, 4a (3 ~2~2), de part et d'autre de 8a.
Slona12 < 42(3 2V),le sec~ond couple est inmaginaire,
mais dis que 12 atteint et surpasse cette valeur les droites
deviennent r~elles, s~cantes anx branches en question en quatre
points strangers roe~s.
Qunant i~ P', P' sur les branches de sommets 5', S', les arcs
infinis de la cubique les difinissent sans ancune condition de
r~alit6.
Note critique. -- De's qu'existent les, points 6trangers variables,
on voit, en examninant les tangentes en 0 i~ la quartiqne, les.arcs de cette courbe se rapprocher de ceux de la boncle cubique
sans pr6senter de points d'inflexion qui rendent sinueux leur
trac6 (voir solution suivante). De plus, dans nn cas limite, les
courbes se touchent sur la droite x' aV2 (V2 ~ 1) et nous
6noncerons
The'oreme. - Lorsque 12 6gale 4a2(3 ~~ 2V2), la stro p/oide et
la quaarti-que (/eterlmi/naft les points-solution sont b itangen~te s.
Llle Solution
M6thode. - Adoptons naturellene~nt les Ideux quartiques
qu'ont r~v~les les th~or~mes classiques des bissectrices pour
d6finir P1. Nous compl~terons h ce propos 1'6tude de ces courbes
analogues.
Le syst~me d~riv6 se formule avec les axes 0x', Oy',
-x2(' y12) - 8a2xf2 l1(X1 '2 y2
y'y) - Sax' l2(X12 -