Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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212 ~ ~ ~ I DEU:XIkA1E PARTIE

solution, remarquons: que. Ila discussion de la r6aliti de ces
points se pr6sente d6sormais' sous un nouvel aspect. En ellet,
s'il s'agit d'assurer 1'existence de P, P' situ6s dans xOy, ii faut
n6cessairement assurer 'eel-le des branches, se croisant en 0,
qui les -portent et dans ce but imposer la condition 12> 8a2
a priori. Mais alors cette condition devient suffisante', puisque
la forme me'me de ces branches indique qu'elles rencontreront
r~ellement le deuxi~me lieu employs droite PIP', cercie ou
hyperbole primitifs, courbe d~riv6e poss6dant commun~ment
une boucle ferumhe dans l'angle xOy. Quant Ak la discussion
de P1,P', dYee demeure conforme A son ancien mode. Au point
de vue purement graphique, il convient d'observer que P1, P1'
seraient assez mal d~termin~s sur les branches de sommets
S', 3S' et sur 1'hyperbole canonique vers laquelle elles tendent
quand 12 tend vers 8a2, tout comme P1, P' du reste sur les
autres branches et sur les droites 0P1, OPI.1
Cela P-Aant,. choisissons par exemple l'association des lieux
f=0,7 x'2 A_- y12 -12. IlS poss~dent huit points communs deux
adeux synmhtriques relativement aux axes Ox', Oy'. L'existence
de P1 P' 6tant acquise, si l'on a 12 > 8a, celle de P', P1'
exigye la condition OS' < 1, ou <~ 1,ee qui est vrai.
~~n ~2 1 ~V
Le calcul des coordonn~es op~r6 stir P' conduit A l'quation
bicarr6e 4,X'44 4(12 -p- 2a 2)X'2 A+14 - 0, donnant
12 -i- 2a2 - 2a/a 2 - 12 a V/~a2 +12
2 ~
On tirera ensuite y'.
EXERCICE. Faire le calcul en posant x' 1 cos 0',
1 sin 0'.
Variante.-Laissons de cfltfl tout autre ]ieu quadratique et
bornons-nous a faire appel a un seul lieu de degr6 an momns
figal a_ trois, A la strophoide
22x(X'2 A-y'2) - 12(X'2 -y2)
pour fixer les idfies. Douze points communs s'introduisent dont
quatre- confondus en 0. Nous pr~voyions en outre des quatre
points-solution quatre points 6trangers re'els on imaginaires,
comme le calcul nous l'indiquera. Eliminons a cet effet y'2
entre les 6quations des deux coiurbes associ'es, ii vient
4a/ 4' 212X'3 A-4a2(12 -22)X'2 A- 12(12 -82)X' VI~