Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

CINQUANTE ET U.NIEME SOLUTION 209
de, muett~re, A profit le segment OA, tanto't bissectrice int~rieure,
tant'Ot ext6rieure du triangle de Pappus OMN. Songeons
maintenant a employer A la fois les bissectrices int6rieure et
ext~rieure de ce triangle. Nous ferons nai'tre ainsi une nouivelle
relation entre x et y dont nous saurons tirer p arti.
D&signons par Q le point variable ou' A rencontre Oy'.
Pour OMN et O1WJN', OQ joue le ro'le de bissectrice ext~rieure.
On aura, pour le premier,,
0Q2 -QM.QN - OM.ON QM.QN - xy.
De plus QM QN MN
x y y- x
2 2xy m
et de me'me pour le second. Mais relativement an troisi~me
triangle OMWN, le segment OQ devient bissectrice int6rieure.
On. aura 0Q2 - OM`.ON"`- QM".QN" - xy- ~QMr.QiN '1
De plus QM11 QN"1 ____
-x y y - x
D'ofi ~~~~~~12Xti
et de ni~me poor OM"'N"'. E~va.luons autrement OQ2,. La droite A
r~pond ~L l',quation Y - a - (X - a). Coupons-la par Oy',
x
ou X -4-X+Y z=0.
Il vient X +i-a zJL(X a) et X a(X +y)
x y-x
Par suite 0Q2 - X2 + Y2 -2a2(X + y)2
(y-x')2
On en d6duit la relation l2X y 2a.2(x ~_~ i)2
(y X_ - xyX)
o!(,y) Xy(X- y)2 +a2(X -+ y)2 _ l2xy 0,
repr~sentaut une quartique admettaut 0 comme point double
ct d'infiexion, les directions Ox, Oy, Ox' comme directions,asymptotiques et Ox', Gy' comme axes de sym6trie. Constatons
la parente de cette courbe avec b'elle que nous venous de
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